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振動と発散

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お礼率 8% (42/518)

次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。
1/3-3/5+3/5-5/7+5/7-7/9・・・・
という問いで、部分和Snを(1)n=2mと(2)n=2m-1に場合けをして、それぞれに『lim x→∞』をとったところ、
(1)limSn=lim2m=lim -2m-2/3m+12=-2/3
(2)limSn=lim2m-1=lim 1/3=1/3
ここまでは、いいのですが、解答で・・・
『ゆえに(1)(2)より、発散する』
と書いてありました。

なぜ、発散するのですか?振動するのではないのでしょうか?
ここのところををしえてください。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

vikkyi さんの(1)(2)はそのとおりですね.
で,問題は「発散」の定義です.
無限級数が収束しないときに,その級数は発散するといいます.
したがって,発散は必ずしも極限値が±∞であるときを意味しません.

極限値が±∞のときのみを指すには「定発散」といいます.
vikkyi さんの問題のような場合は「振動」あるいは「不定発散」といいます.

つまり,分類は

     ┌ 収束
 無限級数┤   ┌ 定発散
     └ 発散┤ 
         └ 振動(不定発散)
です.

     ┌ 収束
 無限級数┼ 発散  
     └ 振動
       
ではありません.

vikkyi さんは,定発散のことのみをを発散と言うと思われているようです.

問題が「収束、発散を調べ」とあるので,
答も「発散」とのみ書いて,定発散か振動かまでは触れなかったのでしょう.
お礼コメント
vikkyi

お礼率 8% (42/518)

本当に有難うございます。私は書いてあったとおり、発散と言えば±∞の事しか表していないのだとおもっていました。これで、私のなぞは解決されました。
本当に有難うございます。
投稿日時 - 2001-12-07 01:58:07
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  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 61% (647/1050)

    どうも気づくと、こういう計算はすっかり過去のものとなっているのですが、級数式を順番に計算して行く限り、1/3と-2/3に振動するように思えます。   発散という答えが間違っているのではありませんか。     こういう級数式は、順番に計算して行くのが原則で、途中で勝手にまとめてはならないのですが、振動するように思えます。従って、発散の理由は分かりません。   (何か、間違っているのでしょう ...続きを読む
 
  どうも気づくと、こういう計算はすっかり過去のものとなっているのですが、級数式を順番に計算して行く限り、1/3と-2/3に振動するように思えます。
  発散という答えが間違っているのではありませんか。
 
  こういう級数式は、順番に計算して行くのが原則で、途中で勝手にまとめてはならないのですが、振動するように思えます。従って、発散の理由は分かりません。
  (何か、間違っているのでしょうか。あるいは、こういう風に、級数の項ごとで振動するのを、「発散」と呼ぶのかも知れません。発散だとすると、呼び方の問題になります)。
 


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