• 締切済み

微分方程式の解の基本系についてです。

Rはrに関する関数です。 Rrr+1/r•Rr=0 (r>0) このとき、1とlogrが解になることはどのような計算でいえるのでしょうか? 微分方程式を見ればなぜこのような解になるのかは分かるのですが 実際自分の手で計算して求めようとしてもうまくいきません。 参考書等には計算が省略されていました。 どなたか途中計算のご指導よろしくお願い致します。

noname#157357
noname#157357

みんなの回答

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

あるいは r を掛けて積分.

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

式の書き方が非常に読みにくいが、式中の Rr は、 下付の添字で dR/dr を表しているのだろうか? だとすれば、一旦 y = Rr とでも置いて、 変数分離形方程式を解けばいい。 y'/y = -1/r へと変形するにあたって y ≡ 0 かどうかを場合分けするから、 二種類の解が出てくることになる。

関連するQ&A

  • 偏微分方程式の一般解などについて

    偏微分方程式の一般解などについて 二点質問があります。 1. 「n階偏微分方程式の一般解はn個の任意関数を含む」とテキストにあったのですが、なぜそう言えるのでしょうか? n階常微分方程式の場合は、n回積分してやればn個の任意定数が出てくる、というように理解できるのですが、偏微分方程式の場合はどう考えたらよいのかよく分かりません。とくに、なぜ任意「定数」ではなく、任意「関数」なのでしょうか? 2. 1に関連しますが、偏微分方程式の一般解であるための必要十分条件みたいなものはあるのでしょうか?たとえば、n階常微分方程式ならn個の線形独立な基本解の線形結合が一般解となると思うのですが、偏微分方程式の場合はどうなんでしょうか? どうぞよろしくお願い致します。

  • たぶん簡単な微分方程式の解法

    こんばんは。 今、微分方程式を解いています。 で、 rσr(2)+3σr(1)=0 ()内の数字はrで微分した階数を示します。 σrはrの関数です。 という単純な微分方程式なんですが。 実は、論文なので途中式が抜けていて、解はわかっているんです。 なので、それをみて解が1/(r^2)と予想できたため、そこからもう一つの解を出しました。 (結局は定数になりました) 質問は、この方法の他に解き方はあるのかどうかしりたいのです。 私の方法だと、解が予想できなかった場合にっちもさっちもいかないですよね。 他にどのような解法があるのか、簡単でいいので教えてください。 お願いします。

  • 微分方程式の特解計算について。

    現在、画像のような微分方程式を解いています。 左辺=0の同次解は容易に求めれるのですが、どうも特解(画像で言うとV(r,θ)です) が計算出来ません。 その原因が、右辺のベッセル関数です。 これまでは右辺が簡単なrのべき乗であったので単純に右辺を2回積分した関数形で 特解を仮定し、左辺に代入した後に係数比較で求めれました。 ところが、ベッセル関数が今回はあるのでどうしたら良いかわかりません。 何かいい方法ないでしょうか? ちょっとしたことでも何か提案がありましたらお願いします。

  • 常微分方程式についてです。

    常微分方程式の計算です。 ωはξに関する関数とします。 このとき 2ω(∂^2ω/∂ξ^2)+2(∂ω/∂ξ)^2-ω+ξ(∂ω/∂ξ)=0 ---* の解の計算ができなく困っています。 一応、自分がどのように考えたか記述しておきます。 (1)ξ+2(∂ω/∂ξ)=1+2(∂^2ω/∂ξ^2) を使おうとしましたが、*とは符号が合わなく使えませんでした。 (2)解をe^(cξ)とおいて考えましたが  最終的に求めることができたωが*を満たさなくうまくいきません。 自分の勉強不足だと思いますが どなたか途中計算を含めた*を満たすωの求め方をよろしくお願い致します。

  • 微分方程式の解き方について

    電気関係の本を読んでいたところ、添付ファイルのような微分方程式が出てきました。 微分方程式と初期条件が記載されており、 それを元に算出した電圧値が記載されているのですが、 途中計算が省略されているため、どのように導いたのかわかりません。 もし、導き方がお分かりになるようでしたら、教えて頂けないでしょうか? おそらく、ラプラス変換等を使用するのだと思ったので、 いろいろ試していたのですが、結局導けませんでした… お手数ですが、ご指導よろしくお願いいたします。

  • 微分方程式の解析で解を定常状態にするには

    こんにちは。 かれこれ3ヶ月以下のような微分方程式の解を出そうとしているのですがうまく求めることができません・・・ 数値計算の途中でオーバーフローして発散してしまったり、出るはずのない振動解が出てしまいます。 下の方程式でrが大きくなるにつれて、f→1に、A→0に漸近していき定常状態になる解を出したいのです。 f ''(r)+(1/r)*f '(r)-((1-A)^2/r^)*f(r)-(f^2-1)f=0 ・・・(1) A''(r)+1/r)*A'(r)-A/r^2+f^2(1-A)=0 ・・・(2) 自分はまず、この方程式のr=0まわりの解を以下のようにマクローリン展開で近似しました。 f(r)=f0+f1*r+f2*r^2+f3*r^3+f4*r^4 A(r)=a0+a1*r+a2*r^2+a3*r^3+a4*r^4 これらを元の(1)、(2)に代入してmathematicaで計算して展開係数f0~f4,a0~a4の関係式を得て、 それらを初期条件のパラメータとしました。 そしてその初期値を元にルンゲクッタ法で解を出そうとしました。 しかし、特異点があるためなのか元の方程式が不安定だからなのか数値計算しても解が発散(もしくは振動)してしまいます。 自分のプログラムが間違っているかもしれないと思い、簡単な非線形微分方程式(ファンデルポール方程式など)で同じ方法を試したんですが、ちゃんと解を求めることができました。 (1)、(2)の場合はどうして数値計算がうまくいかないのでしょうか・・・ ちなみにこの方程式はnielsen olesen vortexというものに関係する微分方程式なのですが、このような方程式はルンゲクッタ法などでは解くことができないのでしょうか? 色々調べてみると硬い方程式などではルンゲクッタが使えないらしいので・・・ 自分でも思いつくことは色々試してみたのですが不勉強でわかりません。 こういうときどのようなアプローチが有効なのでしょうか?

  • 微分方程式の解

    微分方程式の解に一般解と特異解があると思うのですが、特異解の条件って言うのは自分で勝手に決めるものなのですか?「y=0のとき」とか勝手に決めてるみたいなのですが。 それと一般解は一般的に何か求める公式が存在するのでしょうか。微分や積分を使って普通に求められるものはいいのですが、問題によってはいきなり指数関数になったりして意味不明です。 なぜ、一般解と特異解を足したものが解なのでしょう? ぜんぜん、分かりません。何を聞いていいのか分かりません。 こんな質問で申し訳ないのですが、ご回答お願いします。

  • 微分方程式の解の存在

    微分方程式の解の存在について質問です. x_dot = A x という形の微分方程式で行列Aがxの関数(つまりA(x))で,さらに各xで行列方程式 B'A(x)+A(x)B+Q=0の解である(B,Qは定数行列)という拘束条件?があるときに微分方程式の解の存在と唯一性はどのようにいえばいいのでしょうか? ただ,A(x)はすべてのxについて固有値が負の行列であることとします. なにかアドバイスがあったらお願いいたします.

  • 微分方程式の解の求め方

     dy/dx + A y^(1/2) =C 但しA,C は定数 y^(1/2)はルートyです この微分方程式の解を教えてください。C=0の場合の解は本に載っておりますが、これがある値をとる場合はどのように計算式を導いていけばよいか御教示お願い致します。

  • 微分方程式を教えて下さい。

    大学の授業で出された問題なのですが、先先の解説がよく分かりません。(途中計算をかなり省く先生なので) 問題.次の微分方程式の一般解を求めよ。 (1) y'' + 25y = 0 (2) y'' - 8y' + 16y = 0 (3) y'' - y = 3x^2 (4) y'' - 3y' + 2y = 4x + e^3x (5) y'' - y' - 2y = 10cosx できるだけ途中計算を省略せずにお願いします。