微分方程式の解

質問

微分方程式の解に一般解と特異解があると思うのですが、特異解の条件って言うのは自分で勝手に決めるものなのですか？「ｙ＝０のとき」とか勝手に決めてるみたいなのですが。
それと一般解は一般的に何か求める公式が存在するのでしょうか。微分や積分を使って普通に求められるものはいいのですが、問題によってはいきなり指数関数になったりして意味不明です。
なぜ、一般解と特異解を足したものが解なのでしょう？
ぜんぜん、分かりません。何を聞いていいのか分かりません。
こんな質問で申し訳ないのですが、ご回答お願いします。

回答No.1

starflora · ベストアンサー

微分方程式一般の理論まではとても分かりませんので、こういう風に考えているということを述べます。

　　まず、微分方程式に対する特解（特異解とは特解だと考えます）を求める方法は、微分方程式ごとで、一種の技法があると思います。万能の解法というのは、ないのではないかとも思いますが、一般論であるのかも知れません。

　　物理数学では、特定の微分方程式に対し、特解を解く技術があるように思います。この技法で得られた特解の「条件」とは、無論、微分方程式を満たす、つまり解であるということです。また、微分方程式の解は、一般に、ヴェクトル的イメージでは、独立した、別解の線形結合もまた解で、独立特解が幾らぐらいあるのかは、特解の形と、方程式の形で、概ね見当が付くものだと思います。またそれも、解法の技法に含まれていると思われます。（一般理論は知りませんので、原始的な話ですが）。

　　独立した特解の線形結合が、「一般解」になります。一般解のなかに、すでに特解も含まれていて、「特解＋一般解」は、一般解に他ありません。だから、一般解と特解を足したものが解、というより、すでに一般解が出ているなら、解は、もう出ているのです（特解同士を足すのは、線形結合を造って、一般解を求めていることになります。微分方程式はその形から、特解の線形結合も解となるのです）。

　　なお、問題によっては、いきなり指数関数になるのは、多分、一般理論で解き方の手順があるのでしょうが、特定の方程式を解く場合、解がすでに分かっているものは、数学的厳密さを無視して、大まかな話から解を導くので、そういう印象が出るのだと思います。

　　微分方程式の一般理論を学びたいのでしたら、それに相応しい分野というか、常微分方程式論ですが、を学ぶという手順の後で、問題はよりよく見えて来るのではないでしょうか。

　　多分、物理数学での微分方程式の解き方が、何か恣意的な感じがするので、このような疑問になると思うのですが、それは、演習などで解く問題が、答えが十分吟味され分かっている問題であるので、かなりに途中経過を略しているからでしょうし、また、方程式の形から、この解は、これになるという予測の立つものがあり、それを入れてみて解くと、特解が出て、特解と方程式の形から、その特解と直交する、つまり、一次独立な別の特解も分かり、これらで、線形結合を造り一般解を出すのです。

　　こういうことで、納得行きませんでしょうか？

　　微分方程式の解法の一般理論や、また一般解がこれで十分な一般解かという充足条件などの証明議論は、やはり、数学の純粋理論で出てくるもので、そのあたりを学ばないと分からないのではないかということです。

お礼

ご解答ありがとうございます。
やはり、純粋に数学を学ばなければそこまでたどり着かないということですか。
工学のついでにと言うのは無理なのですね。

回答No.4

nuubou

ｘを実数の変数としｙ（ｘ）をｘの複素数値関数としＤ＝ｄ／ｄｘとしｎを自然数としｆ（ｓ）をｓの複素係数ｎ次多項式としｇ（ｘ）をｘの複素数値関数とする

定数係数斎次線形微分方程式の解に指数関数が出てくる理由：
ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝０の任意の解はｋを０以上の整数としλを複素数とし
ｘ＾ｋ・ｅｘｐ（λ・ｘ）の形の関数の線形結合なのです

一般解：
１個以上の任意定数を含むｘの関数ｙ（ｘ）が前記任意定数がいかなる値であってもｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）を満たし
ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の任意の解が前記任意定数に数値を代入したｙ（ｘ）に等しいとき
ｙ（ｘ）をｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一般解という

特殊解（特解）：
ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一般解の任意定数に具体的な数値を代入したものをｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の特殊解という

初期条件：
ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）においてｘ０を実数として
ｙ（ｘ０），Ｄ・ｙ（ｘ０），Ｄ＾２・ｙ（ｘ０），・・・，Ｄ＾（ｎ－１）・ｙ（ｘ０）
は勝手に決めてよい
このような条件を初期条件という

ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一般解とｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝０の一般解：
ｇ（ｘ）をｘの複素数値関数とし
Ｙ０≡｛ｙ０｜ｙ０はｆ（Ｄ）・ｙ０（ｘ）＝０である複素数値関数｝とし
Ｙ１≡｛ｙ１｜ｙ１はｆ（Ｄ）・ｙ１（ｘ）＝ｇ（ｘ）である複素数値関数｝とし
ｙｓ∈Ｙ１とし
ｙｓ＋Ｙ０≡｛ｙｓ＋ｙ０｜ｙ０∈Ｙ０｝とする

ｙ１∈ｙｓ＋Ｙ０とする
すると
ｙ０∈Ｙ０が存在して ｙ１＝ｙｓ＋ｙ０
すると
ｆ（Ｄ）・ｙ１（ｘ）＝ｆ（Ｄ）・（ｙｓ（ｘ）＋ｙ０（ｘ））＝ｇ（ｘ）
すなわち
ｙ１∈Ｙ１
結局ｙｓ＋Ｙ０⊂Ｙ１

ｙ１∈Ｙ１とする
すると
ｆ（Ｄ）・（ｙ１（ｘ）－ｙｓ（ｘ））＝ｇ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝０
すなわち
ｙ１－ｙｓ∈Ｙ０
従って
ｙ１＝ｙｓ＋（ｙ１－ｙｓ）∈ｙｓ＋Ｙ０
結局Ｙ１⊂ｙｓ＋Ｙ０

以上からＹ１＝ｙｓ＋Ｙ０
従ってｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一般解ｙ（ｘ）は
ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の特殊解とｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝０の一般解の和

ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝０の一般解：
Ｍを自然数としｍを１≦ｍ≦Ｍである自然数としてλ［ｍ］をｆ（ｓ）＝０のｋ［ｍ］重根としｋ［１］＋ｋ［２］＋ｋ［３］＋・・・＋ｋ［Ｍ］＝ｎとしｈ［ｍ］（ｘ）をｘの任意複素係数（ｋ［ｍ］－１）次多項式とすると
ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝０の一般解は
ｙ（ｘ）＝Σ（ｍ＝１～Ｍ）・ｈ［ｍ］（ｘ）・ｅｘｐ（λ［ｍ］・ｘ）
である
ただしλ［１］，λ［２］，λ［３］，・・・，λ［Ｍ］はそれぞれ互いに異なり
ｈ［１］（ｘ），ｈ［２］（ｘ），ｈ［３］（ｘ），・・・，ｈ［Ｍ］（ｘ）はそれぞれｘの最高次数の係数が０であってもいいものとする

ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一つの解：
αを複素数としρ（ｘ）をｘの複素数値関数としたとき
∫（α）・ρ（ｘ）≡ｅｘｐ（α・ｘ）・∫（？～ｘ）ｄｕ・ｅｘｐ（－α・ｕ）・ρ（ｕ）とする
ただし？は｛∞，－∞｝∪｛実数｝から好き勝手に選んだ元である
α［１］，α［２］，α［３］，・・・，α［ｎ］をそれぞれ複素数として
ｆ（ｓ）≡（ｓ－α［１］）・（ｓ－α［２］）・（ｓ－α［３］）・・・（ｓ－α［ｎ］）とすると
ｙ（ｘ）＝∫（α［ｎ］）・・・∫（α［３］）・∫（α［２］）・∫（α［１］）・ｇ（ｘ）は
ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一つの解である

従ってｆ（ｓ）の因数分解ができればｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一般解は前記公式によって機械的に求まる

公式の作成の骨子：
ｚ（ｘ）を任意の複素数値関数としαを任意の複素数とする
すると
（ｄ／ｄｘ）・ｅｘｐ（－α・ｘ）・ｚ（ｘ）＝ｅｘｐ（－α・ｘ）・（（ｄ／ｄｘ）－α）・ｚ（ｘ）
であるから
ｅｘｐ（α・ｘ）・（ｄ／ｄｘ）・ｅｘｐ（－α・ｘ）・ｚ（ｘ）＝（（ｄ／ｄｘ）－α）・ｚ（ｘ）
すなわち
（Ｄ－α）・ｚ（ｘ）＝ｅｘｐ（α・ｘ）・Ｄ・ｅｘｐ（－α・ｘ）・ｚ（ｘ）
である
ここでｅ［α］（ｘ）≡ｅｘｐ（α・ｘ）・Ｄ・ｅｘｐ（－α・ｘ）とおく
すると（Ｄ－α）・ｚ（ｘ）＝ｅ［α］（ｘ）・ｚ（ｘ）

ｚ（ｘ）＝ｙ［１］（ｘ）≡ｙ（ｘ）としα＝α［１］とすると
（Ｄ－α［１］）・ｙ［１］（ｘ）＝ｅ［α［１］］（ｘ）・ｙ［１］（ｘ）
でありこの等式をｅｑ［１］とする
ｚ（ｘ）＝ｙ［２］（ｘ）≡（Ｄ－α［１］）・ｙ［１］（ｘ）としα［２］≡α［１］とすると
（Ｄ－α［２］）・ｙ［２］（ｘ）＝ｅ［α［２］］（ｘ）・ｙ［２］（ｘ）
でありこの等式をｅｑ［２］とする
ｚ（ｘ）＝ｙ［３］（ｘ）≡（Ｄ－α［２］）・ｙ［２］（ｘ）としα［３］≡α［２］とすると
（Ｄ－α［３］）・ｙ［３］（ｘ）＝ｅ［α［３］］（ｘ）・ｙ［３］（ｘ）
でありこの等式をｅｑ［３］とする
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｚ（ｘ）＝ｙ［ｎ］（ｘ）≡（Ｄ－α［ｎ－１］）・ｙ［ｎ－１］（ｘ）としα［ｎ］≡α［ｎ－１］とすると
（Ｄ－α［ｎ］）・ｙ［ｎ］（ｘ）＝ｅ［α［ｎ］］（ｘ）・ｙ［ｎ］（ｘ）
でありこの等式をｅｑ［ｎ］とする

ｅｑ［１］，ｅｑ［２］，ｅｑ［３］，・・・，ｅｑ［ｎ］から
［Π（ｍ＝１～ｎ）・（Ｄ－α［ｍ］）］・ｙ（ｘ）＝
［Π（ｍ＝１～ｎ）・ｅｘｐ（α［ｍ］・ｘ）・Ｄ・ｅｘｐ（－α［ｍ］・ｘ）］・ｙ（ｘ）
である
ｆ（ｓ）に重根があるときには
［Π（ｍ＝１～Ｍ）・（Ｄ－λ［ｍ］）＾ｋ［ｍ］］・ｙ（ｘ）＝
［Π（ｍ＝１～Ｍ）・ｅｘｐ（λ［ｍ］・ｘ）・Ｄ＾ｋ［ｍ］・ｅｘｐ（－λ［ｍ］・ｘ）］・ｙ（ｘ）
である

ｗ［ｍ，λ］（ｘ）≡∫ｘ＾ｍ・ｅｘｐ（λ・ｘ）ｄｘとするとＣを任意定数として
ｗ［ｍ，λ］（ｘ）＝ｘ＾ｍ・ｅｘｐ（λ・ｘ）／λ－ｗ［ｍ－１］・ｍ／λであり
ｗ［０，λ］（ｘ）＝ｅｘｐ（λ・ｘ）／λ＋Ｃである
従って
ｗ［ｍ，λ］（ｘ）＝Σ（ｋ＝０～ｍ）・ｘ＾（ｍ－ｋ）・ｅｘｐ（λ・ｘ）・（－１）＾ｋ・ｋ！・ｍＣｋ／λ＾（ｋ＋１）＋Ｃ
である
従ってｈ（ｘ）を任意定数を係数とする多項式とすると
∫ｈ（ｘ）・ｅｘｐ（λ・ｘ）・ｄｘ＝Ｈ（ｘ）・ｅｘｐ（λ・ｘ）＋Ｃである
ただしＨ（ｘ）はｈ（ｘ）と次数が同じで任意定数を係数とする多項式である
ｈ（ｘ）とＨ（ｘ）はこの場合同一視できるのでｈ（ｘ）・ｅｘｐ（λ・ｘ）は積分によって任意定数が１つ付加されるだけだといえる
従って 任意定数を係数とする係数のｍ－１次多項式をｈ０（ｘ）として
（∫ｄｘ）＾ｍ・ｈ（ｘ）・ｅｘｐ（λ・ｘ）は
ｈ（ｘ）・ｅｘｐ（λ・ｘ）＋ｈ０（ｘ）と同じであると考えて良い

例：
ｙ’’’’’（ｘ）－ｙ’’’（ｘ）－２・ｙ’’（ｘ）＋２・ｙ’（ｘ）＝ｅｘｐ（－２・ｘ）・・・（＊）
の一般解を求めてみよう
ｆ（ｓ）＝ｓ＾５－ｓ＾３－２・ｓ＾２＋２・ｓ
＝ｓ・（ｓ－１）・（ｓ－１）・（ｓ＋１＋ｉ）・（ｓ＋１－ｉ） である

［（＊）の左辺＝０の一般解］
ｎ＝５，Ｍ＝４，
ｋ［１］＝２，λ［１］＝１，
ｋ［２］＝１，λ［２］＝０，
ｋ［３］＝１，λ［３］＝－１＋ｉ，
ｋ［４］＝１，λ［４］＝－１－ｉ である
従ってａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅをそれぞれ任意定数として
ｈ［１］＝ａ・ｘ＋ｂ，
ｈ［２］＝ｃ，
ｈ［３］＝ｄ，
ｈ［４］＝ｅである
従って「（＊）の左辺＝０の一般解」は
ｙ（ｘ）＝（ａ・ｘ＋ｂ）・ｅｘｐ（ｘ）＋ｃ
＋ｄ・ｅｘｐ（（－１＋ｉ）・ｘ）＋ｅ・ｅｘｐ（（－１－ｉ）・ｘ） である
ｄとｅを適当に定義し直して
ｙ（ｘ）＝（ａ・ｘ＋ｂ）・ｅｘｐ（ｘ）＋ｃ＋ｅｘｐ（－ｘ）・（ｄ・ｓｉｎ（ｘ）＋ｅ・ｃｏｓ（ｘ））である

［（＊）の特殊解］
ｎ＝５，ｇ（ｘ）＝ｅｘｐ（－２・ｘ），
α［１］＝０，α［２］＝１，α［３］＝１，α［４］＝－１＋ｉ，α［５］＝－１－ｉ
である
従って
∫（α［１］）・ｇ（ｘ）＝
∫（－∞～ｘ）ｄｘ・ｅｘｐ（－２・ｘ）＝ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－２），
∫（α［２］）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－２）＝
ｅｘｐ（ｘ）・∫（－∞～ｘ）ｄｘ・ｅｘｐ（－ｘ）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－２）＝
ｅｘｐ（－２・ｘ）／６，
∫（α［３］）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／６＝
ｅｘｐ（ｘ）・∫（－∞～ｘ）ｄｘ・ｅｘｐ（－ｘ）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／６＝
ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－１８），
∫（α［４］）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－１８）＝
ｅｘｐ（（－１＋ｉ）・ｘ）・∫（－∞～ｘ）ｄｘ・ｅｘｐ（（１－ｉ）ｘ）・ｅｘｐ（－２・ｘ）
／（－１８）＝ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－１８・（１－ｉ）），
∫（α［５］）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－１８・（１－ｉ））＝
ｅｘｐ（（－ｉ－１）・ｘ）・∫（－∞～ｘ）ｄｘ・ｅｘｐ（（１＋ｉ）ｘ）・ｅｘｐ（－２・ｘ）
／（－１８・（１－ｉ））＝－ｅｘｐ（－２・ｘ）／３６である
従って「（＊）の特殊解」は
ｙ（ｘ）＝－ｅｘｐ（－２・ｘ）／３６である

（注）？として－∞を選んだが積分結果が簡単になるようにその都度∞や０などを選んでも良い

［（＊）の一般解］
前記「（＊）の左辺＝０の一般解」と前記「（＊）の特殊解」の結果から「（＊）の一般解」は
ｙ（ｘ）＝（ａ・ｘ＋ｂ）・ｅｘｐ（ｘ）＋ｃ＋ｅｘｐ（－ｘ）・（ｄ・ｓｉｎ（ｘ）＋ｅ・ｃｏｓ（ｘ））－ｅｘｐ（－２・ｘ）／３６である

回答No.3

may-may-jp

特殊解を求めるときの条件は、「計算して答えが求まる」「計算が煩雑でない」ことを基準にしているので、touch_me_8さんがやりやすいというなら、y＝1でもy＝e^xでもいいような気がします。

特殊解については、初期条件をy＝0とかとおいているので、その初期条件が違ってくると別の解が必要になります。簡単に言えば、
y＝sinx
となるか、
y＝sinx＋a
となるか、の違いだと思います。

また、応用数学の微分積分については
「応用解析要論」（田代嘉宏著、森北出版）
が参考になるかもしれません。

回答No.2

brogie

まず、一般解、特殊解（特解）、特異解の違いを確認して下さい。

多分、あなたの質問は次のことかと思います。

「線形非同次微分方程式の一般解Yは線形同次微分方程式の一般解Y０と線形非同次微分方程式の特殊解Y1の和Y=Y0＋Y1である。」ということではないでしょうか？

(1)ay"+by'+cy=Q(x)の一般解をもとめる。
まず、
(2)ay"+by'+cy=0の一般解をY0とする。
(3)ay"+by'+cy=Q(x)の特殊解をY1とする。

(4)Y=Y0+Y1を(1)式に代入すると
(aY0"+bY0'+cY0)+(aY1"+bY1'+cY)=Q(x)
(2)から0になります、したがって
(aY1"+bY1'+cY)=Q(x)
となり、これは(3)から成立します。

ゆえに(4)という解は、任意定数２個含み、しかも、与式(1)の解ですから、(1)の一般解ということになります。

このことは、微分方程式の本では必ず証明してあると思いますから、調べて下さい。