微分と三角関数「±９０°」の公式の関係

質問

こんな数学的に興味深いことを知りました。
サインやコサインに±90度を足すと得られる公式　　例：sin(X+90度)=cosX
のようなものの面白い覚え方です。

sinX ←　　-cosX
↓　　　　　　　↑
cosX →　　-sinX

矢印の向きに見ると、微分していけば、ぐるぐると上のように成り立っている、というのが分かります。
（逆は積分で。）
ここで、「±90度の倍数」をたしても成り立っている、ということが興味深いです。
これがあれば覚えにくい９０度の倍数を足す公式はすべて上の応用で覚えれる、というのが上の利点です。

ここで、疑問に思ったことがあります。

これらと微分の図形的な意味、数式的な意味は？・・・なぜ上のように成り立つのか
（自分なりの考え：９０度、というところがどこかポイントなのだと思います。微分＝接線の傾きを求めること　だから）
ということです。
また、この応用で「４５度」についてもどうにかできませんか。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

sinX ←　　-cosX
↓　　　　　　　↑
cosX →　　-sinX

この微分関係におけるXはラジアン単位であることをお忘れなく。

Xの単位が度「°」なら成り立ちません。
Xの単位が度なら、ラジアンに変換してから微分しないといけません。
微分するたびに変換係数π/180が出ます。
Xを度[°]単位とするとX[°]=X*(π/180)[ラジアン]に変換してから微分してやります。
　dsin(X*π/180)/dX=(π/180)*cos(X*π/180)
など。
なので原則として、微積分の場合はsin(X)やcos(X)のXの単位はラジアンでないといけません。

>ここで、「±90度の倍数」をたしても成り立っている、ということが興味深いです。
これは「±π/2の倍数」をたしても成り立つ。とラジアン単位の角度にすべきです。

{sin(x+a)}'=cos(x+a)　...(1)
{cos(x+a)}'=-sin(x+a) ...(2)

位相（角度）の単位はラジアンです。
合成関数の微分公式を使えば
d(x+a)/dx=1
なので、三角関数の位相（角度）に定数aがあってもsin,cosの微分関係は成り立ちます。
　aは任意定数なので a=±π/2[rad]（±90°のこと）であっても、a=±π/4[rad]（±45°のこと）であっても成り立ちます。

>これがあれば覚えにくい
>９０度の倍数を足す公式　←「π/2[rad]の倍数を足す公式」としないといけないですね。

補足

すいません、日本語がまずかったようです。補足します。

sinX ←　　-cosX
↓　　　　　　　↑
cosX →　　-sinX
回答者さまは「XがX+(定数)であってもXについて微分するとき、　
sin(X+定数)＝cos(X＋定数)
が成り立つことなどを教えてくださったのだと思います。

私がききたかったことはそうではありません。説明不足で申し訳ありません。
実際に質問したかったことを説明するために一旦図を書き直します。

　　　　　(4)
sin 　　　←　　-cos
↓(1)　　　　　　　↑(3)
cos　　　 (2)→　　-sin

ここで、まず上の図は「三角関数の覚えにくい公式を覚えやすくするための図」だと念頭においてください。

sin(θ+π/2)=cosθ
cos(θ+π/2)＝-sinθ
・・・というようにπ/2たして得られる公式、つまり「余角の公式」がありますよね。（覚えにくい公式とはこのことです）
(1)ではsinの余角はcosであると示しています。
・・・これを応用すると、sinの補角は-sinであると分かります。
つまり、矢印ひとつ分がπ/2を１回足す分に相当しています。
これらを応用してどんどんsin(θ+π/2 *n)=・・・と導くことができます。

---
ここで、この図と「微分」の関係を考えてみると、
見事に矢印ひとつ分で　微分一回分であり、あえて等式にあらわすなら
{sinθ}'=sin(θ＋π/2)が成り立っています。

これでなぜ補角の公式などが覚えやすくなるか、というのは、微分の公式はよく使うので覚えやすく、補角の公式は覚えにくい。そこで４つの四角形のような図形を描けば補角の公式を導けると知っておく。左上にsinがくることだけを覚えておけば、あとは順々に微分していくだけ。そうすれば補角の公式が導ける、と思ったところです。

・・・このような図がどうして成立するのか、という質問でしたが、これで伝わったでしょうか・・？

回答No.2

alice_44

第一点:
それが成り立つような関数を sin, cos と定義したからです。
三角関数の定義には、いくつかのやり方がありますが、
微分方程式を用いた定義では、そのようにやります。

第二点:
sin の中身を +π/4 ずらすには、1/2 回だけ微分すればよいです。