合成関数の微分法で質問です

質問

合成関数の微分法で質問です
(sinX)'=cosXという公式がありますよね

そこで
(sin2x)を微分すると 2sin2xになるのですが、
公式的に、
(sinx)'＝cosxならば
なぜ(sin2x)'=cos2x　
こうならないのでしょうか

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

まず、
ｚ＝２ｘ
と置けば、
ｙ＝sin（２ｘ）＝sinｚ
ｄｚ／ｄｘ　＝　２
ｄｙ／ｄｚ　＝　cosｚ
よって、
（sin（２ｘ））’＝　ｄｙ／ｄｘ　＝　ｄｙ／ｄｚ・ｄｚ／ｄｙ
　＝　cosｚ・２
　＝　２cos（２ｘ）
です。

次に、直感的に考えましょう。
ｙ’＝（sin（２ｘ））’　は　ｙ＝sin（２ｘ）　のグラフの傾きを表す関数です。
そして、sin（２ｘ）は、最大値（＝１）と最小値（＝－１）はそのままに、sinｘ　の周期を半分にした関数です。
周期を半分にするということは、それだけ１とー１の間を忙しく行き来しなくてはいけないので、
傾き（の最大値）が２倍になってくれないと、周期を半分にするのに追いつきません。
ですから、導関数には２という係数がつかないと、sin（２ｘ）という人は困るのです。

手元で落書きしてみるだけでわかりますよ。

ご参考になれば。

回答No.5

sanori

Ｎｏ．３の回答者です。
誤字がありましたので、訂正させてください。

---------------------------
よって、
（sin（２ｘ））’＝　ｄｙ／ｄｘ　＝　ｄｙ／ｄｚ・ｄｚ／ｄｙ←【ここが間違い】
　＝　cosｚ・２
　＝　２cos（２ｘ）
です。
---------------------------

正しくは、
ｄｙ／ｄｚ・ｄｚ／ｄｘ
でした。

回答No.4

R_Earl

ちゃんとした話は他の回答者の方々がしているので
別の視点で考えてみます。

> 公式的に、
> (sinx)'＝cosxならば
> なぜ(sin2x)'=cos2x　
> こうならないのでしょうか

(sinx)'を「sinxを微分する」という事だと考えていませんか？
実はこれ、正確ではないんです。
(sinx)'は「sinxをxで微分する」という事を表します。
普段意識しないかもしれませんが、「何で微分するのか」という所が
実はとっても大事なんです。
(sin(2x))'は「sin(2x)をxで微分する」という事を表します。

(sinx)' = cosxという公式は、
「sinxを、sinの中身と同じ物(つまりx)で微分するとcosxになる」
という事を言っています。

ここで(sin(2x))'を考えます。
(sin(2x))'はsin(2x)をxで微分しています。
つまりsinの中身と違うもので微分しています。
だから公式が使えないんです。

sin(2x)はxで微分すると2cos(2x)になります。
が、sin(2x)を2x(つまりsinの中身と同じもの)で微分すれば、cos2xになります。
これは公式通りです。

他の例だと、sin(x^2 + 2x + 3)をxで微分すると(2x + 2)sin(x^2 + 2x + 3)ですが、
sin(x^2 + 2x + 3)をx^2 + 2x + 3で微分すればcos(x^2 + 2x + 3)となります。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

noname#121811

＞(sin2x)を微分すると 2sin2xになるのですが、
2cos2xになります。

合成関数の微分
関数f(x),g(x)の微分がそれぞれf'(x),g'(x)の時、
合成関数f{g(x)}の微分は[f{g(x)}]'=f'{g(x)}*g'(x)です。
今回の質問ではf(x)=sinx,g(x)=2xなので
f'(x)=cosx
g'(x)=2
ゆえに(sin2x)'=[f{g(x)}]'=cos(2x)*2
質問文の場合、最後の*２、つまりg'(x)が足りません。

回答No.1

Hyokko_Lin

まず、
(sin(2x))'=2*cos(2x)
です。

合成関数の微分は、
y=f(u)、u=g(x)
と書ける時、
dy/dx=(df(u)/du)*(dg(x)/dx)
の計算をします。
yをuで微分し、uをxで微分するわけです。

今回の場合、
y=sin(u)、u=2x
とおいて、
dy/dx=((d/du)sin(u))*((d/dx)2x)
=cos(u)*2
=2*cos(2x)
となります。