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三角関数の合成
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- kiha181-tubasa
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三角関数の合成は,加法定理の逆みたいなものです。 例えば sin(x+π/3) =sinxcosπ/3+cosxsinπ/3 =sinx*(1/2)+cosx*(√3/2) (1/2)sinx+(√3/2)cosx となりますね。この逆をたどれば「三角関数の合成です」 さて,ご質問の -1/2cosx+√3sinx ですが,√3sinxは(√3/2)sinxの間違いではないですか。 勝手ながら-1/2cosx+(√3/2)sinxと解釈して回答します。 (1)まず,教科書べったりの泥臭い方法から。でもこれが一番大事です。 教科書には多分以下のように書いてあります。(図が描けないので言葉で説明します) -1/2cosx+(√3/2)sinx =(√3/2)sinx+(-1/2)cosx として考えます。 xy平面上に点P(√3/2, -1/2)をとる。原点Oと点Pとの距離は OP=√((√3/2)^2+(-1/2)^2)=√(3/4+1/4)=1 線分OPがx軸の正の向きとなす角は-π/6 (√3/2)sinx+(-1/2)cosx =sin(x-π/6) (教科書には図を描いてすぐこの結果が書いてありますね) そこには √3/2=cos(-π/6),-1/2=sin(-π/6) であることから (√3/2)sinx+(-1/2)cosx =sinxcos(-π/6)+cosxsin(-π/6) =sin(x-π/6) となる理由があるのですね。 さて,質問はcosでした。これも sin(π/2-x)=cosx cos(π/2-x)=sinx などの定理が役立ちます。そして sin(x-π/6)=cos(π/2-(x-π/6))=cos(π/2+π/6-x)=cos((2/3)π-x) =cos(-(x-(2/3)π))=cos(x-(2/3)π) (cos(-x)=cosxでしたね) (2)直接cosで作ってみましょう -1/2cosx+(√3/2)sinx でcosの加法定理を思い出すと cosy=-1/2, siny=√3/2 となる角yを探します。cosは(x座標/半径),sinは(y座標/半径)であることから,xy平面上に点Q(-1/2, √3/2)をとって考えます。 線分OQがx軸の正の向きとなす角は2π/3であるから -1/2=cos(2π/3), √3/2=sin(2π/3) ですね。これを使うと -1/2cosx+(√3/2)sinx =cos(2π/3)cosx+sin(2π/3)sinx =cosxcos(2π/3)+sinxsin(2π/3) =cos(x-(2π/3)) となります。
- asuncion
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元の式、間違ってませんか?
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