【導関数の問題】

質問

ある大学の問題です。

等式x^2ｆ’(x)－ｆ（ｘ）＝x^3＋ax^2+ｂｘを満たす多項式ｆ（ｘ）について
（a、ｂは定数）

(1)ｆ（ｘ）はｘの何次式か。

(2)このような多項式ｆ（ｘ）が存在するためのaｂについての条件は？

解ける方いらっしゃいましたら、
ぜひ解説お願いします！

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

(1)　
多項式ｆ（ｘ）の次数をn(nは整数)とすると　最大次数は　ｘ＾n。従って　ｆ’(x)＝nx＾n-1
左辺の最大次数は　x^2ｆ’(x)だから　その次数は　(n-1)＋2＝n＋1.
右辺の最大次数は　3だから　n＋1＝3　→　n＝2.

(2)
x^2ｆ’(x)－ｆ（ｘ）＝x^3＋ax^2+ｂｘ　の両辺にｘ＝0を代入すると、ｆ（0）＝0。
よって、ｆ（ｘ）＝αx＾2＋βx　と置ける。
これを　x^2ｆ’(x)－ｆ（ｘ）＝x^3＋ax^2+ｂｘに代入すると、(2α-1)x＾2＋(β-α-a)x-(β＋b)＝0.　
これが全てのxについて成立するから　全ての係数＝0.
2α-1＝β-α-a＝β＋b＝0だから　αとβを消すと　ａ＋ｂ＋1/2＝0　となる。

回答No.2

info22_

回答がついている投稿の重複投稿はやめましょう。
するなら補足質問やお礼などつけて、締めてからするように。
↓
http://okwave.jp/qa/q7565845.html

この#2で回答したものです。
参考までに、回答済みの回答を以下にコピペします。
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No.2
(1)
x^2*f'(x)はf(x)より一次次数が高く、それが右辺の３次に等しいから
f(x)はxの２次式である。

(2)
f(x)は２次式なので
f(x)=px^2+qx+r(p,q,rは定数)とおくと
x^2*f'(x)=2px^3+qx^2
なので
x^2*f'(x)-f(x)=2px^3+(q-p)x^2-qx-r≡x^3+ax^2+bx
恒等的に成り立つための条件は
2p=1,q-p=a,-q=b,-r=0
∴p=1/2,q=-b,r=0,a=-b-1/2
f(x)=(1/2)x^2-bx ...(A)
∴a+b=-1/2 ...(B)

(B)が成り立つとき
x^2*f'(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx　...(C)
（C）を満たすf(x)=(1/2)x^2-bx が存在することを示す。
(C)の左辺=x^2*f'(x)-f(x)
=x^3-(b+(1/2))x^2+bx
=x^3+ax^2+bx=(C)の右辺。
（証明終り）
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回答No.1

ferien

＞等式x^2ｆ’(x)－ｆ（ｘ）＝x^3＋ax^2+ｂｘを満たす多項式ｆ（ｘ）について
＞（a、ｂは定数）

＞(1)ｆ（ｘ）はｘの何次式か。
上の式から、x^2ｆ’(x)は、ｘの３次式でなければならないから、ｆ'（ｘ）はｘの１次式
よって、ｆ（ｘ）はｘの２次式

＞(2)このような多項式ｆ（ｘ）が存在するためのaｂについての条件は？
ｆ（ｘ）＝ｄｘ^2＋ｅｘ＋ｆとおくと、ｆ'（ｘ）＝２ｄｘ＋ｅ
x^2ｆ’(x)－ｆ（ｘ）
＝２ｄｘ^3＋ｅｘ^2－（ｄｘ^2＋ｅｘ＋ｆ）
＝２ｄｘ^3＋（ｅ－ｄ）ｘ^2－ｅｘ－ｆ　…（１）
＝ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ　…（２）
（１）（２）を係数比較すると、２ｄ＝１，ｅ－ｄ＝ａ，－ｅ＝ｂ，－ｆ＝０
ｄ＝１／２，ｅ＝－ｂを　ｅ－ｄ＝ａに代入すると、
－ｂ－１／２＝ａ
よって、ａ＋ｂ＝－１／２

になりました。どうでしょうか？