【導関数の問題】

質問

ある大学の問題です。

等式x^2ｆ’(x)－ｆ（ｘ）＝x^3＋ax^2+ｂｘを満たす多項式ｆ（ｘ）について
（a、ｂは定数）

(1)ｆ（ｘ）はｘの何次式か。

(2)このような多項式ｆ（ｘ）が存在するためのaｂについての条件は？

解ける方いらっしゃいましたら、
ぜひ解説お願いします！

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
x^2*f'(x)はf(x)より一次次数が高く、それが右辺の３次に等しいから
f(x)はxの２次式である。

(2)
f(x)は２次式なので
f(x)=px^2+qx+r(p,q,rは定数)とおくと
x^2*f'(x)=2px^3+qx^2
なので
x^2*f'(x)-f(x)=2px^3+(q-p)x^2-qx-r≡x^3+ax^2+bx
恒等的に成り立つための条件は
2p=1,q-p=a,-q=b,-r=0
∴p=1/2,q=-b,r=0,a=-b-1/2
f(x)=(1/2)x^2-bx ...(A)
∴a+b=-1/2 ...(B)

(B)が成り立つとき
x^2*f'(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx　...(C)
（C）を満たすf(x)=(1/2)x^2-bx が存在することを示す。
(C)の左辺=x^2*f'(x)-f(x)
=x^3-(b+(1/2))x^2+bx
=x^3+ax^2+bx=(C)の右辺。
（証明終り）

回答No.3

alice_44

計算しちゃう…という手もある。

両辺に (1/x^2)e^(1/x) を掛けて x で積分すると、
f(x)e^(1/x) = {(1/2)x^2+(a+1/2)x}e^(1/x) - (a+b+1/2)∫{(1/x)e^x}dx
となる。

e^(-1/x)∫{(1/x)e^x}dx は多項式ではないから、
f(x) が多項式であるための条件は、a+b+1/2=0.
その条件下に、f(x) = (1/2)x^2+(a+1/2)x.

回答No.1

151A48

f(x)はn次として
f(x)=p(x^n )+・・・・（ p≠0）　とおくと
f ' (x) = pn(x^n-1) + ・・・・
(x^2)f ' (x) -f(x) = {pn(x^n+1)+・・・・} -{p(x^n)+・・・｝
これが　x^3 +ax^2 +bx に等しくなるので　最高次の項を比べて
np=1, n+1=3
∴n=2 , p=1/2　よってf(x)は２次式。

ｆ（ｘ）＝(1/2)(x^2)+qx+r　とおくと
f '(x)=x+q
(x^2)f '(x)-f(x)=(x^3)+q(x^2)-(1/2)(x^2)-qx-r=(x^3)+((q-(1/2))(x^2)-qx-r
=(x^3)+a(x^2)+bx
より
q-(1/2)=a , -q=b
これより　a+b+(1/2)=0