Dirac方程式の自由粒子の解を求めようとするとき

質問

Dirac方程式を
ベクトルの太文字、演算子のハットは省略してます。

i(∂ψ/∂t)=Hψ , H=α・p+mβ , p=-i∇

の解で運動量ｐの固有状態でもある解を求めようとするときに、ψの形を次のように、pの関数w(ｐ)をつかって変形する意味がわかりません。

ψ(x,t)=exp{-i(Et-p・x)}ｗ(ｐ) ,

とても、基礎的なことなのかなと思って、授業で使った「岩波基礎物理シリーズ５」を復習したのだけど乗ってなかったような気がしました。

誰か教えてくれませんか?お願いします。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

ψがエネルギーと運動量の同時固有状態とします。固有値をE, pとすると
　-i∇ψ=pψ
よりψの座標依存性はψ=exp(-p・x)w のような形であることが分かります。これが
　Hψ=(-iα・∇ + βm)ψ = Eψ
を満たすとすると、wが
　(α・p + βm)w = Ew　…(1)
を満たさなければならないことが分かります。非相対論的自由粒子でこれに相当するのは、
　(p^2/2m)w = Ew
でp^2/2mは行列ではないので、E=p^2/2m としてwは定数とすればよいだけです。ところがDirac方程式ではα・p + βmが4行4列の行列なので、(1)が0でない解を持つためにはこれを固有値方程式とみなして解く必要があります。(1)の両辺にα・p + βmをかけると
　(αiαj pipj + (αiβ+βαi)pi + β^2 m^2)w=E^2w
(繰り返されている添字は1から3まで和をとる)となりますが、pipj=pjpi なので
　αiαj pipj = (αiαj pipj+αjαi pjpi)/2
　= (αiαj +αjαi)pipj/2
　= δijpipj = p^2
またαiβ+βαi=0, β^2=Iより固有値は
　E^2 = p^2 + m^2　…(2)
であることが分かります。結局wはEが(2)として
(1)の解で与えられますが、α・p + βmが行列なのでwは定数ではなく、pに依存する4成分のスピノールとしなければならないのです。

お礼

お礼遅れて申し訳ありません。（PCの調子が悪かったので）
回答ありがとうございました。
とても、よくわかりました。やっぱり基本的なことでしたか・・・勉強不足ですね。
中心力ポテンシャルでのディラック方程式の解を求めようとがんばっているんですが、最初でつまずいてしまい・・・。
また、質問させていただくことが多々あると思いますのでそのときは時間があったらでいいのでよろしくお願いします。
ありがとうございました。

回答No.2

KENZOU

grothendieckさんの回答に付け加えることは全くありませんが少しだけ蛇足の補足をしておきます。
kyanaumiさんの
＞ψの形を次のように、pの関数w(ｐ)をつかって変形する意味がわかりません
ψ(x,t)=exp{-i(Et-p・x)}ｗ(ｐ)
という質問に対しgrothendieckさんの
＞　-i∇ψ=pψ
よりψの座標依存性はψ=exp(-p・x)w のような形であることが分かります。
ということで質問に対する回答はずばりなされていると思います。以下は蛇足として読んでください。上式を簡単のため1次元の場合に焼きなおして形式的に解けば
　-i∂ψ/∂x＝pψ→∂lnψ/∂x＝-ip→ψ＝Aexp(-ipx)
となりますから、Dirac方程式の解もψ＝wexp(-ip・x)のように書けると想像できますね。ここでexpの中のp・xの内積は4次元ベクトルの内積ですから、
　p・x＝p0x0－(p1x1+p2x2+p3x3)＝Et－p・x
となることに注意しましょう（x0=ct,E=cp0)。そうすると上で推定した解は
　ψ＝wexp(-ip・x)　→　ψ＝wexp{-i(Et-p・x)}　　(1)
となりますね。整理するとDiracの方程式を解く段階では平面波の波動関数の係数ｗはpの関数w(p)と書けると最初から分かっているのではなく、微分方程式の形から形式的に類推して(1)の形とおき、これをDiracの方程式にいれて具体的にｗを決めていく（とpの関数であることがでてくる）という流れで理解すればいいのではと思います。

お礼

御礼遅くなって申し訳ありません。
補足説明ありがとうございます。
確かに、ｗがｐの関数になってる所が少し引っかかっていました。KENZOUさんの説明ですっきり解決できました。ありがとうございます。
基礎的なことがあまりできてないのに、ディラックの方程式を解こうとしてるのは無理がありますね。でも、学校の課題で出されてしまい。何とか理解したいのです。
今後も質問を多々してしまいそうですが、もし時間がありましたら、お願いします。
ありがとうございました。