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水面の降下量と水面降下速度の関係
Quarksの回答
- Quarks
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関係式(この問題では、微分方程式)の導出過程で、どのような推論がなされたのかをチェックするのが筋ですね。残念ながら、その肝心の所が抜けています。 仕方がないので、お二人の回答者さんの回答と重複しているだろうとは思いますが、考え方の筋道を示しながら解いてみます。 水面の高さがhになったとき、微小時間Δtに水面がΔh下降したとします。 これは、水が容器から出ていったために生じたのです。その流出量ΔVは ΔV=Δh・A と評価されます。 一方これは、底の小孔から出ていった水の量でもありますから、小孔での流速をvとすると a・(v・Δt) に等しいはずです。 v=√(2gh) であることはわかっていますから、結局 Δh・A=a・(v・Δt)=a・Δt・√(2gh) 変形すると A・(Δh/Δt)=a・√(2gh) ですね。ここで Δh/Δt は、 導関数 dh/dt に置き換えることができますから -A・(dh/dt)=a・√(2gh) が正しい関係式(微分方程式)となります。これは、"Bさん" が示したのと全く同じ式です。 hは小さくなっていく量なので、dh/dt は負の数です。左右辺の符号を一致させるためには、負号が必要でした。もう少し整理して -(dh/√h)=(a/A)・(√(2g))・dt となります。 辺々積分して、積分定数をCとすると C-2√h=(a/A)・(√(2g))・t 時刻t=0で、h=H でしたから C=2√H なので、hとtとの関係式は 2((√H)-√h)=(a/A)・√(2g)・t となります。求めたい時間 t は h=0 となるときの t ですから t=(A/a)・√(2H/g)
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