初歩的な質問なのですが。。

質問

初歩的な証明問題に悩んでいます。

というのも、例えば
群Gがあり、部分群Hがあるとします。（別に群じゃなくてもいいんですが。。)

aH={ah l h∈H}
として

写像：H->aH

f(h)=ah

h∈H, a∈G
は全射（onto)である、というのを証明したいのですが、
教科書には、全射であることは明白であるから、といってちゃんとした証明がなされていませんでした。

自分なりに考えたところ、
簡単に言えば、{f(h)}＝｛ah l h∈H}=aH　なので全射と言えるんでしょうが、
うまく説明できないんですが、{f(h)}＝｛ah l h∈H}と本当にしていいのかどうか、自信が持てません。

仮に、もしそれが正しければ
｛f(h)｝⊆aHとaH⊆{f(h)}を示して、aH={f(h)}と証明出来るはずです。

f(h)=ah∈aH
なので

｛f(h)｝⊆aH
というのはわかります。
しかし

aH⊆{f(h)}

を、どうやって証明すればいいのか分かりません。。

つまり、質問を要約すると
１．{f(h)}＝｛ah l h∈H}　と本当に言えるのか？
２．aH⊆{f(h)}をどうやって証明すればいいのか？

どなたか、分かる方よろしくお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞aH={ah l h∈H}
＞として

＞写像f：H->aH

＞f(h)=ah

＞h∈H, a∈G
から、全射であることが言えると思います。

ｆ（Ｈ）＝｛ｆ（ｈ）｜ｈ∈Ｈ｝は、ｆ（Ｈ）がｆによるＨの像であることを表します。
これは、上のことから
aH={ah l h∈H}とも表せます。
よって、ｆ（Ｈ）＝ａＨより、写像f：H->aH　は全射です。

お礼

回答ありがとうございます。

確かに、f(H)={f(h) l ｈ∈Ｈ｝ と表示すると納得させられるような気がします！