幾何学の問題がわかりません。

質問

ｆを集合Xから集合Ｙへの写像、ｇを集合Ｙから集合Ｚへの写像とする。つぎを証明せよ。
１、ｆおよびｇが単射ならばｆとｇの合成ｇｆも単射である。
２、ｆおよびｇが全射ならばｆとｇの合成ｇｆも全射である。
３、｜Ｘ｜＜＿｜Ｙ｜で｜｜＜＿｜Ｚ｜ならば｜Ｘ｜＜＿｜Ｚ｜である。

この問題が分からないのですが教えて頂けないでしょうか。

回答No.3

Caper

● ごめんなさい。ANo.2 で私が示した 2. の証明は不十分でした。

　「 以上の結果より … ( 証明終わり ) 」を次のように改めさせてください。

● 以上の結果より、Z から任意に選んだ 要素z に対して、g(f(x)) (= gf(x) = g(y)) = z を満たす X の要素が少なくとも 1つ 存在することが示されたことになります。すなわち、Z ⊆ gf(X) (= {x| (z ∈ Z)∧∃x((x ∈ X)∧(gf(x) = z))}) が示されたことになります。

　 一方、gf(X) (= {x| (z ∈ Z)∧∃x((x ∈ X)∧(gf(x) = z))}) ⊆ Z であることは明らかです。( 理由は、「 写像の定義より 」とか「 gf(X) は gf の値域を示し、Z は gf の終集合であるから 」とか「 gf(X) の要素であるための条件の中に、(z ∈ Z)∧ … と明記されているから 」とか … )

　 Z ⊆ gf(X) と gf(X) ⊆ Z が示されましたので、gf(X) = Z が示されたことになります。すなわち、X から Z への 合成写像gf が全射であることが示されたことになります。( 証明終わり )

回答No.2

Caper

● 1.

　 仮定より、f は X から Y への単射ですから、集合 X から任意に選んだ 2つ の要素 a と b に対して、a ≠ b であれば f(a) ≠ f(b) です。また、仮定より、g は Y から Z への単射ですから、f(a) ≠ f(b) であれば g(f(a)) ≠ g(f(b)) です。すなわち、f(a) ≠ f(b) であれば gf(a) ≠ gf(b) です。

　 以上の結果より、集合 X から任意に選んだ 2つ の要素 a と b に対して、a ≠ b であれば gf(a) ≠ gf(b) であることが示されたことになります。よって、X から Z への 合成写像gf は単射になります。( 証明終わり )

● 2.

　 Z から任意に選んだ要素を z と表わすことにします。

　 仮定より、g は Y から Z への全射です。すなわち、g(Y) = Z です (*)。よって、g(y) = z を満たす Y の 要素y が少なくとも 1つ 存在します。
　 同様に、仮定より、f は X から Y への全射です。すなわち、f(X) = Y です(*)。よって、f(x) = y を満たす X の 要素x が少なくとも 1つ 存在します。

　 以上の結果より、Z から任意に選んだ 要素z に対して、g(f(x)) (= gf(x) = g(y)) = z を満たす X の要素が少なくとも 1つ 存在することが示されたことになります。すなわち、X から Z への 合成写像gf が全射であることが示されたことになります。( 証明終わり )

(*)
　 f が X から Y への写像であり、g が Y から Z への写像であるとします。そして、P が X の任意の部分集合であり、Q が Y の任意の部分集合であるとします。このとき、Y の 部分集合f(P) と Z の 部分集合g(Q) は、次のとおりに表わされます。
　 f(P) = {y| y ∈ Y であり、f(x) = y を満たす x ∈ P が存在する}
　　　　= {y| (y ∈ Y)∧∃x((x ∈ P)∧(f(x) = y))}
　 g(Q) = {z| z ∈ Z であり、g(y) = z を満たす y ∈ Q が存在する}
　　　　= {z| (z ∈ Z)∧∃y((y ∈ Q)∧(g(y) = z))}

● 3. |X|≦|Y| であり、|Y|≦|Z| であるならば、|X|≦|Z| である。
　 上記の命題を証明しようとするのでしょうか。

　 集合の濃度の定義より、|X| ≦ |Y| であるならば、X から Y への単射が存在します。同様に、|Y| ≦ |Z| であるならば、Y から Z への単射が存在します。それらの写像を合成すれば、1. より、その合成写像は X から Z への単射となります。X から Z への単射が存在すれば、|X| ≦ |Z| が満たされます。( 証明終わり )

● 以上の記述にまちがいがありました場合は、ひらにごめんなさい。

回答No.1

Tacosan

でどこがわからないのですか?