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数学の面白い問題
staratrasの回答
- staratras
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数式(グラフ)で考えてみました。 3本の平行線を、y=p,y=q,y=0(x軸)とする。(0<q<p) y=p上に点P、 y=q上に点Qをとり、原点０と結んで正三角形OPQを作る。 直線OPの式をy=m'x、直線OQの式をy=mx とすると m'x=p より P(p/m',p) mx=q より Q(q/m,q) OP^2=OQ^2 より p^2(1+1/m'^2)-q^2(1+1/m^2)=0 …(1) ∠POQ=60度だから加法定理により (m'-m)/(1+m^2)=tan60度=√3 ∴m'=(√3+m)/(1-√3m) (ただしm≠√3/3）…(2) 0<q<p に注意して(2）を(1)に代入して解くと m=(√3)q(q+2p)/(4p^2-q^2) ∴q/m=√3(4p^2-q^2)/3(q+2P) …(3) m'=√3p(2p+q)/(2p^2-2q^2-3pq) ∴p/m'=√3(2p^2-2q^2-3pq)/3(2P+q) …(4) したがって、3本の平行線が与えられた場合、最も下の平行線上の点Oを通り、3本の平行線に直交する直線を考えて、上の2本の平行線との交点を基点とし、その基点からの距離が(3)(4)を満たすように平行線上にそれぞれ点P、点Qをとれば、正三角形OPQを描くことができる。 なお正三角形の１辺となるOPがy=m'xで表せる直線上にないのは、OPがx軸と垂直になる(y軸と一致する)ときである。 このときm=√3/3であり、正三角形が描けるのは、p=2q の場合(等間隔の場合)に限られる。
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