数学の問題

質問

数学の問題

ある2次関数のグラフは、放物線Ｙ＝－ｘ2じょうを平行移動したもので、点4,1を通り、頂点が直線Ｙ＝2ｘ＋1上にあるという。
この2次関数を求めよ

という問題がでたのですが、代入や、平方完成などいろいろな方法を試してみたのですが、どうしてもできません。こたえは二つあるようです。

先生に聞いても、この問題の解説はしないと言って教えてくれません。

どのようにしたら解くことができるのでしょうか？

回答No.3

halcyon626 · ベストアンサー

ではでは、問題文より、X、Yにどれだけ平行移動したのか分かりませんよね？
なので勝手に、X軸方向にA,Y軸方向にBだけ平行移動したとしましょう。
そうすると、放物線Y＝－X＾２は、Y=－（X－A）＾２＋B・・・(1)となります。
これが点（４，１）を通るので、X=４、Y=１を代入します。
１＝－（４－A）＾２＋B・・・(2)
さらに(1)の頂点は、(A、B)です。
問題文より、頂点はY=２X＋１にあります。
なので、X=A、Y=Bを代入すると、B＝２A＋１・・・(3)です。
(2)、(3)より、AとBの関係式が２つ出来たので、(3)を(2)に代入して、A、Bを求めます。
１＝－(４－A)＾２＋２A＋１
０＝－(１６－８A＋A＾２)＋２A
　　－A＾２＋１０A－１６＝０
　　　A＾２－１０A＋１６＝０
　　　(A－２)(A－８)＝０
よって、A＝２，８となります。
答えが２つあるというのは、Aの値が２つあるので、Aの値次第で答えが変わるからです。
A=２のとき、(3)より、B＝５　　　よって、(A、B)＝(２，５)
A=８のとき、(3)より、B＝１７　　よって、(A、B)＝(８，１７)
つまり答えは、Y＝－X＾２を
Xに２、Yに５だけ平行移動したものと、
Xに８、Yに１７だけ平行移動したものとなります。
あとは、この２つを(1)に代入すればいいだけです。
よって答えは、
Y＝－(X－２)＾２＋５とY＝－(X－８)＾２＋１７です。(展開しても可)

参考までに、、、

お礼

考え方さえはかれば、簡単な問題だったんですね。
ありがとうございます。

これを応用できるようがんばりたいと思います。

回答No.2

gf4m414

すみません

y=-(x-t)^2+2t+1の間違いです。

t^2-6t+16=0 (t-8)(t+2)=0

t=8,-2

y=-(x-8)^2+17=-x^2+16x-47
y=-(x+2)^2-3=-x^2-4x-7

お礼

理解することができました。
将来に向けて応用できるようにしたいと思います。

ありがとうございました。

回答No.1

gf4m414

頂点がｙ＝２ｘ＋１上にあるので

2次関数のグラフは
y=-(x+t)^2+2t+1とかける。
なぜならy=ax^2を平行移動し（ｍ,ｎ)を頂点とするグラフはy=a(x-m)^2+nだから
教科書に載っています。
ここでx=4 y=1を代入してtを求める。