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ロピタルの定理について
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No.3です。補足です。 lim x→a {f’(x)/g’(x)}の分母が0、分子が0以外の値をとる場合、 xをaに近づけていくと∞に発散していきます。 すなわち、lim x→a {f’(x)/g’(x)}が特定の値となりません。 それでも、lim x→a {f(x)/g(x)}の特定の値になることがあるので、「・・・存在すれば」という記述になるのです。 逆の記述で、lim x→a {f(x)/g(x)}では直接求められないけど、lim x→a {f’(x)/g’(x)}が存在すればlim x→a {f(x)/g(x)}＝lim x→a {f’(x)/g’(x)}を使って値を求められるという定理です。
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- alice_44
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No.1 さんの言うとおり。 「lim x→a {f’(x)/g’(x)}が存在すれば」と断ることで 何が言いたいのかは、 例えば、f(x)=sin(x), g(x)=x^2, a=0 の場合を 考えてみれば判る。
お礼
なるほど，ありがとうございます。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
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f’(x)/g’(x)を微分の定義に従って書き直すと、 {lim h→0 [f(x+h)-f(x)]/h}/{lim h→0 [g(x+h)-g(x)]/h} これの意味は図で表したとき、それぞれの接線の傾きとなります。 f(x)とg(x)の値がある値に収束する場合は、定義通りになります。 aが∞であったり、f(x)とg(x)が∞になる場合、必ずしも成り立つとは言えません(実際成り立たないものがある)。 これは、"∞という値にxやf(x)、g(x)の値が収束する訳ではない"ということがミソです。 lim x→aはxをあるaという値に収束させますが、lim x→∞はxを∞に収束させるわけではありません。 f(x)、g(x)もそうで、∞という値を取るわけではありません。 最初に戻りますが、"それぞれの関数の接線の傾き"が比として定義出来るならば、 元のf(x)/g(x)の極限として、それぞれの関数の接線の傾きを代用できるということになります。
お礼
とりあえず，ありがとうございます。ちょっと，よく考えてみます。まずは，考えてみます。解答，ありがとうございます。
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
なんかこの頃、こういうの多くないですか？ Ｎｏ．１さん。 いつもお世話になっております。ｍ（＿ ＿）ｍ と、質問者さんには関係のない時候の挨拶 すみません。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%94%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 ここね。下のほうまでちゃんと読んでみて？ そしたら、極限が存在する って言う意味は分かると思うから。 何でだろうね、教えないのかなぁ～ちゃんと。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
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