16歳ドイツ人少年、ニュートンも解けなかった難問解

質問

16歳のドイツ人少年、ニュートンも解けなかった数学の難問を解く。
あのアイザック・ニュートンも解くことが出来なかった難問を、
このほど16歳のドイツ人少年、Shouryya Ray氏が解いてしまったとのこと。
この「難問」とは、重力の影響と空気抵抗を受けた
投射物の軌道を正確に計算する方法というもの。

http://www.news.com.au/technology/german-teen-shouryya-ray-solves-300-year-old-mathematical-riddle-posed-by-sir-isaac-newton/story-e6frfro0-1226368490157

というニュースを見たのですが、重力の影響と空気抵抗を受けた投射物の軌道は正確にはどのようになるのでしょうか？
どのような座標設定にするのか記事では不明なのですが、写真から判断していただければと思います。

回答No.1

ryn · ベストアンサー

空気抵抗が速度の2乗に比例する場合，運動方程式は
　mx" = - kx'√{(x')^2 + (y')^2}
　my" = - ky'√{(x')^2 + (y')^2} - mg
と書けます．
（'は時間による1階微分，"は2回微分）

ここで，
　u = x'
　v = y'
とすると，上の2式は
　mu' = - ku√(u^2 + v^2)
　mv' = - kv√(u^2 + v^2) - mg
と書け，両辺 m で割って，係数を置きなおすと
　u' = - ku√(u^2 + v^2)　　…(1)
　v' = - kv√(u^2 + v^2) - g　　…(2)
となります．

次に，(1),(2)の左辺と右辺を掛け合わせることで
　ku'v√(u^2 + v^2) + gu' = kuv'√(u^2 + v^2)
⇔ gu' = k(uv' - u'v)√(u^2 + v^2)
を得ます．

ここで，v = su として変数変換すると
　gu' = k{u(s'u + su') - u'(su)}u√(1 + s^2)
⇔ gu' = ks'u^3√(1 + s^2)
⇔ gu'/u^3 = ks'√(1 + s^2)　　…(3)
と変数分離形になります．
後は両辺積分すれば，
(3)の左辺から写真の左辺第1項
(3)の右辺から写真の左辺第2項
が出てきます．

という訳で，u,v はそれぞれ x,y 方向の速度ですね．

お礼

ありがとうございます。rynさまも同じように天才ですね。すごいです。

画像で
arcsinh|v/u|
とありますが、絶対値はなくてもいいような。

また、
http://www.geocities.jp/hydrodynamism/ProjectileMotion/index.html
によると、軌道が書ける求積法による解析解は存在しない、つまり、x,yの解析的関係式は存在しないと思いますが、今回の記事はu,vの関係式なので、ちょっと、未解決問題解決とはいいがたいかもしれないですね。