積分教えてください

質問

∫（π /6～π/3 ）　{（sinx+cosx)/(sinx cosx)}dx
の問題を部分積分で解くと計算が長くなりました。

この問題は置換積分などで解けますか？どのように解くべきなのかが分かりません。
解き方を教えてください。
解説が詳しいとありがたいです。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

I=∫[π/6→π/3] (sinx+cosx)/(sinx cosx)dx
=∫[π/6→π/3] {(1/cosx)+(1/sinx)}dx
=∫[π/6→π/3] (1/cosx)dx+∫[π/6→π/3] (1/sinx)}dx
=I1+I2
I1=∫[π/6→π/3] (1/cosx)dx
I2=∫[π/6→π/3] (1/sinx)}dx
とおくと

I1=∫[π/6→π/3] (1/cosx)dx=∫[π/6→π/3] (cosx)/{1-(sinx)^2}dx
sinx=t(1/2≦t≦√3/2)とおくと　cosxdx=dt
I1=∫[1/2→√3/2] 1/(1-t^2) dt
=(1/2)∫[1/2→√3/2] {1/(t+1) -1/(t-1)} dt
=(1/2)[log|t+1|-log|t-1|][1/2→√3/2]
=(1/2)[log(t+1)-log(1-t)][1/2→√3/2]
=(1/2){log((√3/2)+1)-log((1/2)+1)-log(1-(√3/2))+log(1-(1/2))}
=(1/2)log[{((√3/2)+1)(1-(1/2))}/{((1/2)+1)(1-(√3/2))}]
=(1/2)log[{(√3+2)(2-1)}/{(1+2)(2-√3)}]
=(1/2)log{(2+√3)^2/3}
=log{(2+√3)/√3}=log{(3+2√3)/3}

I2=∫[π/6→π/3] (1/sinx)dx=∫[π/6→π/3] (sinx)/{1-(cosx)^2}dx
cosx=t(√3/2≧t≧1/2)とおくと　-sinxdx=dt
I2=∫[√3/2→1/2] -1/(1-t^2) dt
=∫[1/2→√3/2] 1/(1-t^2) dt
=I1=log{(3+2√3)/3}

∴I=I1+I2=2I1=2log{(3+2√3)/3}