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積分教えてください
info22_の回答
I=∫[π/6→π/3] (sinx+cosx)/(sinx cosx)dx =∫[π/6→π/3] {(1/cosx)+(1/sinx)}dx =∫[π/6→π/3] (1/cosx)dx+∫[π/6→π/3] (1/sinx)}dx =I1+I2 I1=∫[π/6→π/3] (1/cosx)dx I2=∫[π/6→π/3] (1/sinx)}dx とおくと I1=∫[π/6→π/3] (1/cosx)dx=∫[π/6→π/3] (cosx)/{1-(sinx)^2}dx sinx=t(1/2≦t≦√3/2)とおくと cosxdx=dt I1=∫[1/2→√3/2] 1/(1-t^2) dt =(1/2)∫[1/2→√3/2] {1/(t+1) -1/(t-1)} dt =(1/2)[log|t+1|-log|t-1|][1/2→√3/2] =(1/2)[log(t+1)-log(1-t)][1/2→√3/2] =(1/2){log((√3/2)+1)-log((1/2)+1)-log(1-(√3/2))+log(1-(1/2))} =(1/2)log[{((√3/2)+1)(1-(1/2))}/{((1/2)+1)(1-(√3/2))}] =(1/2)log[{(√3+2)(2-1)}/{(1+2)(2-√3)}] =(1/2)log{(2+√3)^2/3} =log{(2+√3)/√3}=log{(3+2√3)/3} I2=∫[π/6→π/3] (1/sinx)dx=∫[π/6→π/3] (sinx)/{1-(cosx)^2}dx cosx=t(√3/2≧t≧1/2)とおくと -sinxdx=dt I2=∫[√3/2→1/2] -1/(1-t^2) dt =∫[1/2→√3/2] 1/(1-t^2) dt =I1=log{(3+2√3)/3} ∴I=I1+I2=2I1=2log{(3+2√3)/3}
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