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sinθ/θ（θ→0）の証明
高校の教科書で、sinθ/θ（θ→0）を証明するのに、弧度法を習って、角θに立つ扇形を二つの面積が（1/2）sinθと（1/2）tanθの三角形ではさんで評価します。 ・角度を定義していない ・弧の長さが定義されていない などという批判を聞くのですが、どういうことでしょうか？
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弧度法ってのは （単位）円周の長さを角度として扱うものです． したがって，「長さ」とは何ぞや？という定義が必須です． で・・・実は「長さ」というのはそんなに簡単なものでないです． 「直線の長さ」ならまだましですが（それでも実は結構難しい）， 円周（弧）の長さってどうやって決めますか？ 一般の曲線の長さは「積分」で決めます． そして，円周の長さを積分するには 三角関数の積分を使いますが，その計算には三角関数の微分を使います． 三角関数の微分には，sin(x)/xのx->0の極限を使います． sin(x)/x (x->0)の極限の証明には「長さ」を使います ・・・あれあれ？ ということです （ほかにも，あの「証明」には面積の問題もあったような気がするけど， 面積ってのは長さの拡張で話はほとんど同じ）． 厳密に処理するならば ・集合を定義する ・集合から自然数を定義する ・自然数に四則演算をいれる ・自然数から演算を保ちつつ整数・有理数・実数を作る ・実数から級数の収束を定める ・三角関数などを級数で定める なんてことを延々とやってからsin(x)/xの極限を示します そうすると，この極限は厳密かつ自明な式になりますが， 今度は三角関数と円の関係が不明瞭になったりします(^-^; だから，あの「証明」はあれでいいのです． 高校数学は理解することが大事であって， 別に数学の厳密な理論を組み立てるわけではないし， 全員が数学者になるわけでもありません． あの流れで理解して実用上は問題ありません． 同様の「初等数学教育における循環論法」ってのは，中学校の幾何にもあって 「二等辺三角形の底角が等しい」ってのも実は教科書にある 合同を使った証明はある意味循環論法です 興味があれば「ロバの橋」とかで調べるとよいでしょう．
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- hugen
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sinθ/ 循環論法 で検索してね！ 例えば http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~kawanaka/sinx.pdf
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