- ベストアンサー
高校範囲での三角関数に関する不等式の証明について。
sinθ<θ<tanθ (0<θ<π/2)…(*)という不等式がありますが、この証明で悩んでいます。自分は次のような証明を習いました。 中心角がθ、半径rの扇形OABを描く。(θ=∠AOB) 線分OAに垂直な直線を考え、OBを延長した線と交わる部分をCとする。(このときACは扇形を円と考えたときの接線。) 三角形OABの面積は、(1/2)*(r^2)*sinθ 扇形の面積は、(1/2)*(r^2)*θ 三角形OACの面積は、(1/2)*(r^2)*tanθ であり、これらの大小関係は明らかに、 (1/2)*(r^2)*sinθ < (1/2)*(r^2)*θ < (1/2)*(r^2)*tanθ であるから、各辺に(1/2)*(r^2)の逆数をかければ、(*)が成り立つ。 というものです。 しかし、この中には、円(扇形)の面積、つまり積分が入っています。しかし、三角関数の積分を考えるとき、どうしてもsinθ / θ→1(θ→0)を使わなくてはならないと思います。 これを証明するには、(*)の各辺をsinθで割り、逆数を取ることを利用しなくてはなりません。 やはり、(*)の証明を変えなくては循環してしまうと思うのですが、なにか上手い手はないでしょうか。よろしくお願いします。
- strife
- お礼率78% (86/109)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数4
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
↓に詳しく書いてあります。
その他の回答 (1)
- yoikagari
- ベストアンサー率50% (87/171)
結論から言うと、あなたの感覚は正しいです。 要するに、あなたが習った証明はおかしいのです。 高校生の時点では、微積分について深くつっこまないので、こういった論法でお茶を濁してしまうのです(きちんとやると本当に難しくなってしまうのです)。 もしきちんとした証明が知りたいのであれば、大学の数学(解析学)を学ぶ必要があるかと思います。
お礼
ありがとうございました。
関連するQ&A
- θはrの関数か?
微分で2つほど疑問がわいたので質問します。 球面三角形の定理、球面上の2点を、球面に沿って結ぶ曲線のうち、長さの最も短いものはこの2点を通る大円の劣弧である。これを導関数を用いて考えると、添付した図のように、長さ2aの線分ABを弦とし、半径r、中心角2θの扇形を考えて、 弧ABの長さをSとすればS=2rθ・・・(1) sinθ=a/r ただし0<θ<π/2・・・(2) dS/dr=2{θ+r(dθ/dr)}この微分の部分が最初の疑問点です。 積の導関数を使っていると思うのですが、θはrの関数かがわかりません。最初は、dS/dr=2θと間違えました。 自分は、積の導関数は、sin^2xcos2xのように同じ変数の関数の積に対して導関数を求めるものだと思いました。どなたかdS/dr=2{θ+r(dθ/dr)}を解説してください。お願いします。 本では、(2)よりθ=sin^(-1)(a/r)(0<θ<π/2)これをrで微分して、dθ/drを求め、dS/dr=2(θ-tanθ)・・・(3)。扇形の面積{(1/2)r^2θ}と三角形の面積{(1/2)r^2tanθ}を比べて、θ<tanθ(0<θ<π/2)より、dS/dr<0よってSは減少関数であることがわかり、定長線分ABの両端を通る円弧は半径が大きいほど短い。ここが2つ目の疑問点です。これはrが大きくなれば、θ-tanθの値が小さくなっていく(θの値が一定で、tanθが大きくなる)と考えればよいでしょうか?どなたか、定長線分ABの両端を通る円弧は半径が大きいほど短い。の解釈はこれでよいかを教えてください、お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- sinθ/θ(θ→0)の証明
高校の教科書で、sinθ/θ(θ→0)を証明するのに、弧度法を習って、角θに立つ扇形を二つの面積が(1/2)sinθと(1/2)tanθの三角形ではさんで評価します。 ・角度を定義していない ・弧の長さが定義されていない などという批判を聞くのですが、どういうことでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分を用いた円の面積公式の証明について
中心角θ、二辺の長さがrである二等辺三角形を用いて、半径rの円の面積S(厳密には内接する正多角形の面積の極限?)を求めようとしています。 dS=r^2/2×sin(dθ) である微小三角形を定義し、それを区間[0,2π]で積分することで、S=r^2/2×∫sin(dθ) を求めたいのですが、この積分が解けません。 この積分を解いていただけないでしょうか? また、このような微小三角形を並べることによる円の面積公式の証明は妥当なものでしょうか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数について
△ABCにおいて、AB=4,AC=3,∠BAC=60°とする。また、三角形ABCの外接円をKとする。このとき、 BC=√13であり、△ABCの面積をS,外接円Kの半径をRとすると、 S=3√3, R=√39/3である。 (1)点Bにおける円Kの接線と点Cにおける円Kの接線を交点をDとし、直線ADと辺BCの交点をEとする。また、接線BD上に点Bに対して点Dと反対側に点Fをとる。 (図参照) (i)円Kの中心をOとすると、∠BOC=120°だから∠BDC=60°となり、BD=CD=√13である。 (ii)∠ABF=∠BCAだから, sin∠ABD=6/√39となる。 したがって△ABDの面積とT1とすると、 T1=4√3 となる。 同様にして,△ACDの面積をT2とすると, T2=9√3/4となる。 以上より, BE:EC=16:9を得る。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の極限について
lim[x→0]sinx/x=1 の証明で、教科書には http://members.jcom.home.ne.jp/dslender/kousiki/kyoku2.html のような証明が載っていました。 ここには、扇形OAPの面積=(1/2)*θとありますが、 扇形(円)の面積を求めるときの証明で lim[x→0]sinx/x=1を使った http://www8.plala.or.jp/a12/sano/en1.htm (←のように)と思うのですが、 lim[x→0]sinx/x=1を用いずに円の面積を求める方法、 もしくはさらに厳密なlim[x→0]sinx/x=1の証明はあるでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の問題で質問です。
(問)△OABにおいて OA=4、OB=5、∠AOB<90°であり、△OABの面積は5√3である。 辺OBの中点をMとし、→(OA)=→(a),→(OB)=→(b)とする。AB上の点Pに対して、線分の長さの和OP+PMが最小となるとき、→(OP)を→(a),→(b)で表せ。また、そのときの△OPMの面積を求めよ。 以上、ご指導よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 楕円の面積を初等的に説明する方法について
円の面積を、円を扇形に細分し互い違いに組み合わせ、各辺がr、πrの長方形とみなし、その面積をπr^2として説明する方法がありますが、同じ説明の方法が楕円にも使えるのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。よくわかりました。