a枚のカードから1枚をひっくり返す作業をn回繰り返

質問

a枚のカードがあり、それぞれの表面には1、2、3、…、aの数字が書かれています。
裏面には、表面のマイナスの数字が書かれています。
今、すべてのカードは表が上になっています。

a枚のカードの中から自由に1枚を選び、ひっくり返します。
さらに、a枚のカードの中から自由に1枚を選び、ひっくり返します。
同じカードであっても、別のカードであってもかまいません。
このひっくり返すという作業をn回繰り返したとき、a枚のカードの上の数字の合計の期待値はどのようになるのでしょうか？

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

「自由に1枚を選び」という表現がちょっと気になるけど、どのカードも同じ確率で選ばれるものとします。

１枚のカードだけに注目すれば、
1回の操作で、反転する確率は1/a、反転しない確率は(a-1)/aなので、
n回の操作で、k回反転する確率P(k)は、
P(k)=nCk*(1/a)^k*((a-1)/a)^(n-k)

よって、mの数字が書かれたカードの上の数字の期待値は、
m{P(0)-P(1)+P(2)-P(3)+・・・・+(-1)^n*P(n)}
=mΣ[k=0・・・n](-1)^k*nCk*(1/a)^k*((a-1)/a)^(n-k)
=mΣ[k=0・・・n]nCk*(-1/a)^k*((a-1)/a)^(n-k)
=m(-1/a+(a-1)/a)^n
=m(1-2/a)^n

すべてのカードの上の数字の合計の期待値は、
Σ[m=1・・・a]m(1-2/a)^n
=a(a+1)(1-2/a)^n/2

回答No.5

yyssaa

＃１さんの答えも＃２さんの答えもa=10、n=1のときの
期待値が違うようですが？

回答No.4

nag0720

No.3＞A No.2 に一票。

No.2の回答は、E(S(n))=S(0)*((a-2)/a)^n=a(a+1)(1-2/a)^n/2　がa=1,2のときでも成立することを言っているだけじゃないの？

No.3＞x_a が k 回ひっくり返る確率は (nCk)/(a^n) だから、

Σ[k=0～n](nCk)/(a^n)=1　が成り立っていないんだけど。

回答No.3

alice_44

A No.2 に一票。(ただの、後追い回答です。)

a 枚のカードの数を 1 ～ a に限定せず、
x_1 ～ x_a の a 個の変数としてみる。
x_i のカードが k_i 回ひっくり返されると、
カードの数の和は Σ[i=1～a] x_i (-1)^k_i になる。
カードを n 回ひっくり返す操作 a^n 通りのうち、
そうなる場合の数は n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) 通り
だから、問題の期待値 E は、
E = Σ[*] ( n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) )/(a^n) Σ[i=1～a] x_a (-1)^k_i
= { Σ[*] ( n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) )(-1)^k_i } (a^-n) { Σ[i=1～a] x_a }
と整理できる。ここで Σ[*] は、n の分割
k_1 + k_2 + … + k_a = n, k_i≧0 に関する総和を表す。

この式の Σ を計算するのは面倒くさいが、
x_i = 0 (i<a), x_a = 1 の場合を考えると
x_a が k 回ひっくり返る確率は (nCk)/(a^n) だから、
E = Σ[k=0～n] { (nCk)/(a^n) } (-1)^k
= { Σ[k=0～n] (nCk)(-1)^k } (a^-n)
= (1 - 1)^n (a^-n)　　 ← 二項定理
= 0
となる。よって、
Σ[*] ( n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) )(-1)^k_i = 0
であることが判り、任意の x_1 ～ x_a に対して
E = 0。 もちろん、1 ～ a のカードでも。

←A No.1
1 回の操作でひっくり返すカードは 1 枚だから、
各カードを独立に扱うことはできない。

回答No.2

MagicianKuma

最初の状態の合計値をS(0)=(a+1)*a/2　として　n回試行後の合計値S(n)の期待値は
E(S(n))=S(0)*((a-2)/a)^n　です
a=1の時 E(S(n))=1*(-1)^n
a=2の時 E(S(n))=3*(0)^n=0
でも成立します。