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確率 m枚のカードから1枚取り出す

1からmまでの番号が1つずつ書いてあるm枚のカードが入っている箱がある。この箱から1枚取り出してはまたもとに戻す操作をn回繰り返し、第i回目に取り出したカードの番号をAiとする。A1≧A2≧A3≧・・・・≧Anとなる確率をp(m,n)で表すとき、次の値を求めよ。 (1)p(2,n) (2)p(3,n) (3)p(4,7) (4)p(4,n) この問題を解いているのですが僕にとってかなり難問です。 とりあえず(1)なのですが、2がずっと続いて途中で1になるような確率を出せばいいのではないかと考えたのですが、「何個目で1に変わるのか」をどう表すのかがよくわかりません。1回目で変わる、2回目、3回目と分けようと思ったのですが、nなので無理でした。 こういう場合、確率はどのようにして出すのでしょうか?教科書や傍用問題集では見たことのないタイプです。 回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いします

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回答No.3

1≦A_n≦A_(n-1)≦A_(n-2)≦A_(n-3)≦ …… ≦A_3≦A_2≦A_1≦m ⇔ 1≦A_n <A_(n-1)+1<A_(n-2)+2<A_(n-3)+3< …… <A_3+(n-3)<A_2+(n-2)<A_1+(n-1)≦m+(n-1) であるから、 1≦A_n≦A_(n-1)≦A_(n-2)≦A_(n-3)≦ …… ≦A_3≦A_2≦A_1≦m を満たすような カードの取り出し方は C(m+n-1,n)=(m+n-1)!/(n!*(m-1)!) 通りだけある。 よって、 p(m,n)=((m+n-1)!/(n!*(m-1)!))/(m^n). たとえば、 (4) p(4,n) =((4+n-1)!/(n!*(4-1)!))/(4^n) =(n+1)(n+2)(n+3)/(6*4^n).

その他の回答 (3)

  • stomachman
  • ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.4

んーと、No.3が出たことだし、もうスレスレまでヒントを出しておきます。 No.2をさらに単純化するには、 A[0] =m S[0] = A[0]-A[1] とすれば良い。 すると m-1 = S[0]+S[1]+…+S[n] ですが、これはどういうことかというと…

  • stomachman
  • ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.2

 いきなり確率を考えるより、まず場合の数で考えるのが良さそうです。以下、見やすくするために記号を変えて、AiをA[i]のように書くことにします。  「A[1]≧A[2]≧・・・・≧A[n]」となった場合を「成功」、それ以外を「失敗」と呼ぶことにしましょう。  n回カードを引いたときに起こりうる場合の数は、「成功」も「失敗」もひっくるめると、もちろん(m^n)通りあります。あとは、そのうち「成功」の場合が何通りあるかを数えれば良い。  ここで、 u = A[1]-1 A[n+1] = 1 S[i] = A[i]-A[i+1] と定義しますと、 u= S[1}+S[2]+…+S[n] です。  そして、「成功」とは S[i]≧0 (i=1,2,…,n) であることと同じです。 これはどういうことかというと、  「A[1](=u+1)を或る値に決めたときの「成功」の場合の数は、 『u個のボールがあります。これをn人で分けるやり方は何通りありますか。ただし、ボールがひとつも貰えない人があっても構いません。』 という問題の場合の数(これをN(u)としましょう)と同じ。」 ってことですね。(i君が貰ったボールの個数がS[i]という訳です。)これは「重複組み合わせ」の問題ですから、  N(u)= nHu = (u+n-1)Cu = (u+n-1)!/(u! (n-1)!) です。  従って、「成功」の場合の数は ΣN(u) (Σはu=0,…,m-1) 通りある。

  • redowl
  • ベストアンサー率43% (2140/4926)
回答No.1

(1)で n=2のとき (2、2)(2、1)(1、1)(1、2)の4通り そのうち A1≧A2を満たすのが 3通り n=3の時  (2、2、2)・・・・ 省略・・・  の8通り そのうち A1≧A2≧A3を満たすのが 4通り n=4の時   省略・・・・・・ の16通り そのうち A1≧A2≧A3≧A4を満たすのが 5通り 規則性を見つけましょう。 分子は1ずつ増えてるし、分母は2^nだし・・・・

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