- ベストアンサー
漸化式 確率
n本のロープがあり、2つ折りにしてロープの端が揃えてある ロープの端をでたらめに2つずつ選んで結んでいき、1度選んだ端を2度選ばずにn個の結び目を作る n本のロープが全てつながって1つの輪ができる確率をＰ(n)とする Ｐ(n+1)/Ｐ(n)を求めよ 始めから分からないので教えてください 補足質問もするかもしれません
- 数学・算数
- 回答数6
- ありがとう数4
- みんなの回答 （6）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (5)
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
- haru-89
- ベストアンサー率0% (0/1)
http://kjcpa2011.blog81.fc2.com/blog-entry-21.html こちらに画像をUPしたのでご覧ください 手書きなので見にくいかもしれません。
お礼
携帯電話のせいか画質が悪くよく見えません わざわざありがとうございました
- haru-89
- ベストアンサー率0% (0/1)
紙に書いたのでうまく見えるかわかりません
お礼
携帯電話のせいか画像がないように見えます すみません わざわざありがとうございました
- 9101011120
- ベストアンサー率84% (22/26)
n＝1のとき 明らかに選び方1通りで輪ができる。ゆえに P(1)＝1 n＝2のとき 4つあるうちの1つの端に注目してみると、その端と 結ぶことで輪ができる端は残り3つのうち2つ。初めの 注目した端とそのうちの1つを結ぶと、残り2つは自動 的に決まってしまう。これは1通りのうち1通りで１つの 輪ができることに等しから、 P(2)＝2/3×1/1＝2/3 n＝3のとき 端は6つあり、n＝2と同様の操作をしてみると、 ある一端について1つ結び目をつくるとき、１つの輪と なる可能性(確率)は、4/5 (残り5端のうち4端を選ぶ) である。上のとき、結び目をつくった端を含む(最初の、 注目したものでないほうの)ロープのもう1つの端について、 上と全く同じ操作をしてみると、その端と結ぶことで 1つの輪となりうるのは、残り3端のうち、2端である。 (すでにむすばれている2つのロープは、1本とみなすと 両端で結んではいけないことがわかる。) ゆえに、P(3)＝4/5×2/3×1 ここで推測として、P(n＋1)＝{2n/(2n＋1)}P(n) であると考えられる。 n本のロープのとき、1つの輪ができる確率をP(n)とすると、 n＋1本のとき、(i)端は2(n＋1)個あり、n＝3と同様の操作をしてみると、 ある一端について1つ結び目をつくるとき、１つの輪と なる確率は、2n/(2n＋1) である。 (ii)上のとき、結び目をつくった端を含む(最初の、 注目したものでないほうの)ロープのもう1つの端について、 上と全く同じ操作をしてみると、その端と結ぶことで 1つの輪となりうるのは、残り2n－1個の端のうち、 2n－2個の端である。(ii)よりさきは、P(n)を求めるときと 全く同じ操作であるから、 P(n＋1)＝{2n/(2n＋1)}P(n) よって、 P(n＋1)/P(n)＝2n/(2n＋1)
補足
(ii)の上のとき、結び目をつくった端を含む…の上のときと上と全く同じ操作をしてみると、その端と結ぶことで…の上ととは何を指してるんですか？
2つ折り→二つ折り，2つずつ→二つずつ，1度選んだ端を2度選ばずに→一度選んだ端を二度選ばずに，1つの輪→一つの輪 これらのように用いる場合は漢数字を使います。
お礼
問題には算用数字で書いてあったのでそのまま書いてしまいました 以後気を付けます
関連するQ&A
- 確率（漸化式）
ある工作機械が２日連続して故障する確率は1/3 ２日連続して故障しない確率は1/2 今日、この機械が故障したとすると、n日後この機械が故障しない確率を求めよ。 という問題で、n日後に故障しない確率をPnとおくと、計算過程を省くと Pn＋1-4/7=-1/6(Pn-4/7) ※Pn＋1はPnのnをn＋1に書き換えたものです。 となり、 これを変形すると、数列{Pn-4/7}は、初項P0-4/7、公比-1/6だから Pn-4/7=(P0-4/7)(-1/6)^n-1＋4/7 ∴Pn=(-4/7)(-1/6)^n-1＋4/7 ※P0とはPnにおいてn=0 となるはずだと思うのですが、参考書には Pn=(-4/7)(-1/6)^n＋4/7 となっているんです。 ご指摘よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率漸化式の問題です。
「1枚の硬貨を何回も投げ、表が2回続けて出たら終了する試行を行う。n回目で終了する確率をP(n)とする時、P(n+1)をP(n)とP(n-1)で表せ。」という問題です。 （質問）P(1)=0、P(2)=1/4、P(3)=1/8、となりますが、3回目に終わらない確率は、1 - P(3)でしょうか。樹形図を書くと5/8になりそうです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率と漸化式の複合問題
「箱Ａ、箱Ｂのそれぞれに赤球1個、白球3個、合計4個ずつ入っている 1回の試行で箱Ａの球1個と箱Ｂの球1個を交換する この試行をn回繰り返したあと箱Ａに赤球1個、白球3個入っている確率をＰ（ｎ）とする 問題1 Ｐ（ｎ＋1）＝1/8Ｐ（ｎ）＋1/2 であることを証明せよ 問題２ Ｐ（ｎ）を求めよ 」 という問題で、問題1はできたのですが、問題2が何回やっても模範解答とあいません 私はこう考えました この試行を1回繰り返したあと箱Ａに赤球1個、白球3個入っている確率＝Ｐ（1）＝5/8・・・1 ｘ＝1/8ｘ＋1/2 ｘ＝4/7 これをＰ（ｎ＋1）＝1/8Ｐ（ｎ）＋1/2の両辺から引く Ｐ（ｎ＋1）-4/7＝1/8Ｐ（ｎ）＋1/2-4/7 ＝1/8（ｐ（ｎ）-4/7） ここで数列｛Ｐ（ｎ＋1）-4/7｝を考える ・・・1より第一項が5/8 公比が1/8なので Ｐ（ｎ）-4/7＝3/56×1/8＾（ｎ-1） Ｐ（ｎ）＝3/56×1/8＾（ｎ-1）＋4/7 どこが間違っていますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 点の移動 確率漸化式？
「座標平面上に４点 Ａ(0,1)，Ｂ(0,0)，Ｃ(1,0)，Ｄ(1,1)を頂点とする正方形を考え、この正方形の頂点上を点Ｑが1秒ごとに１つの頂点から隣の頂点に移動しているとする。さらに点Ｑはｘ軸平行な方向の移動について確率ｐ、ｙ軸と平行な方向の移動について確率１－ｐで移動しているものとする。最初に点Ｑが頂点Ａにいたとするとき、ｎ秒後に頂点Ａ、Ｃにいる確率をA_n、C_nとする。A_n、C_nを求めよ」 確率漸化式の問題だと思い、漸化式をn-1秒後とｎ秒の関係に注目しながら解こうとしているのですが、式がたくさんできてわけがわからなくなりました。 頂点B、Dにいる確率をB_n、D_nとして、 A_n+1＝（1-p）B_n＋ｐD_n B_n+1＝（1-p）A_n＋ｐC_n C_n+1＝（1-p）D_n＋ｐB_n D_n+1＝（1-p）C_n＋ｐA_n この4式から題意のA_nとC_nを求めることは可能なのでしょうか？なんだかうまくできませんでした。 回答いただければ幸いです。よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率の漸化式の問題です
円周上に、右回りも順で３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり、円周にそって、これらの点の上を右回りに進むものとする。１つのサイコロを投げて、偶数の目がでれば、その数だけ進み、奇数ならば１つ進む試行を繰り返す。初めＡにいて、ｎ回目の試行の後でＡにいる確率をＰ_n、Ｂにいる確率をＱ_n、Ｃにいる確率を Ｒ_nとして次の問に答えよ。 （１）Ｐ_nをR_n-1(n>=2)で表せ。 （２）Ｐ_3nを求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- クーポンコレクターの問題の漸化式
ある食玩にはn種類のおまけがついているとします。 一つを買うとそのどれかが入っています。 二つ目を買うと一つ目とダブっていたり、ダブっていなかったりします。 n種類を全部コンプリートしたいとします。 x個買ったところで、おまけがy種類そろう確率をp(y:x)と書くことにします。 p(1:1)=1, p(y:1)=0(yが1以外のとき） p(1:x)=(1/n)^(x-1) p(y:x)=p(y-1:x-1)*(n-y+1)/n + p(y:x-1)*y/n (for 2<=y<=n, x>=2) となります。最後の漸化式は、x-1個買ったところでy-1種類そろっていたときと、x-1個買ったところでy種類そろっていたときに場合分けしたものです。 n個を買ったときに初めてコンプリートする確率は、n-1個買ったところでn-1種類そろっていて、n個目で最後の1個をそろえればよいから、 p(n-1:n-1)*1/n n+1個を買ったときに初めてコンプリートする確率は、n個買ったところでn-1種類そろっていて、n+1個目で最後の1個をそろえればよいから、 p(n-1:n)*1/n 同様に次々と考えていく。n種類を全部コンプリートするとき平均の買う回数（期待値）E(n)は、「回数×確率」の和だから、 E(n)=Σ_(x>=n) x*{p(n-1:x-1)*1/n} この後、式変形して、 E(n)=n(1/1+1/2+1/3+…+1/n) を導きたいのですが、どうすればよいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率漸化式について
円周上に、4点A,B,C,Dを反時計回りに等分に配置する。 この時、A,B,C,D上を動く点Qがあり、最初は点Aにそれがある。 さいころを振って偶数の目が出れば、出た目の数だけ隣の点に点Qを反時計回りに移動させ、 奇数の目が出た時は、移動させない。 さいころをn回振った後で、点QがCにある確率をp[n]とおく。 この時、 (1) p[1],p[2]を求めよ。 (2) p[n+1]をp[n]で表わせ。 (3) p[n]を求めよ。 （1）は1/3，4/9と出たのですが、 （2）の漸化式の出し方が、どうしても分かりません・・・。 解法をお教えいただければと思います。
- 締切済み
- 数学・算数
- 簡単な確率の質問です
【質問１】 ｎ個の玉から無作為に一つを選び出す行為をｎ回行うという試行の結果、 それぞれの玉が選ばれる確率はいずれも１になると思うのですが、これはどうしてですか？ 一回の行為で、それぞれの玉が選ばれる確率は１／ｎ それをｎ回繰り返すから（１／ｎ）・ｎ＝１ これで良いのですか？ 【質問２】 質問１と同じ試行の結果、 いずれかの玉がｐ回（０≦ｐ≦ｎ）選ばれる確率はいくつになりますか？ 特定の一つの玉について、 その玉が０回選ばれる確率は（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－０）＋（１／ｎ）・０ その玉が１回選ばれる確率は（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－１）＋（１／ｎ）・１ その玉が２回選ばれる確率は（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－２）＋（１／ｎ）・２ ・・・ その玉がｐ回選ばれる確率は（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－ｐ）＋（１／ｎ）・ｐ これがｎ個の玉いずれにも成り立つので、答えは （（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－ｐ）＋（１／ｎ）・ｐ）・ｎ これで合ってるでしょうか？ 表計算ソフトで数字を入れるとどうも間違ってる気がするのですが。 根本的に間違っているかも知れません、助言お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございました