力学の問題：経路を原点中心の円として一周積分を計算
- 力学問題において、与えられた力を用いて経路を原点中心、半径Rの円として一周積分を計算する方法について解説します。
- 経路をr→ = (Rcos s) i→ ＋(Rsin s) j→ とおき、ｓが０からπまで変化するとき、一周積分を計算することができます。
- 保存力の問題において、保存力とは経路によらずに式W1 = W1'を満たす力のことを指し、数学的な解法についても解説します。
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力学(単位ベクトルを用いた解法)
(a) F = -ay i→ + ax j→ (b) F = ax i→ + ay j→ と力が上記のように現されるとき、経路を原点中心、半径Rの円として一周積分を計算しなさい。 一周積分は r→ = (Rcos s) i→ ＋(Rsin s) j→ とおき。 ｓは０からπまで変化する。 という問題がありました。 高校のときの物理は１、２ともに履修しましたが数学がまったく手付かずで意味がわかりません。 保存力の件について上記の文章が問題として教科書に載っているのですが 保存力はある経路にてW1とその反対のW1'があったとき、これが０なら保存力であるという定義はわかっていますが数学的な解決方法でやるとどんな風にしていいのかわかりません。 ご面倒おかけいたしますがご教授お願い申し上げます。
- ligase
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多分 I=∫(0→Θ)F_・dr_ を計算せよということでしょう。 一周積分ではΘ＝2π 質問はΘ＝π この点は確認してください。 dr_=(-Rsinsi_+Rcossj_)ds (a)F_=-ayi_+axj_ F_・dr_=(ayRsins+axRcoss)ds I=∫(0→Θ)F_・dr_=(0→Θ)[-ayRcoss+axRsins]=ayR(1-cosΘ)+axRsinΘ Θ=2πでI=0 Θ=πでI=2ayR (b)F=axi_+ayj_ F_・dr_=-axRsins+ayRcoss ∫(0→Θ)F_・dr_=(0→Θ)[axRcoss+ayRsins]=axR(cosΘ-1)+ayRsinΘ Θ=2πでI=0 Θ=πでI=-2axR
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