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振幅スペクトルの導出

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s(t)=4πBsinc(2πBt)の振幅スペクトル|S(w)|
を導出せよと言う問題です。

S(w)=∫s(t)exp(-jwt) dt (積分範囲はー∞から∞)
この積分ができません。
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レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

回答が来ないようなので...

sincというのは
sinc(t) = sin(t) / t ... t≠0
sinc(0) = 1
です。だから、
s(t) = 2sin(2πBt) /t ... t≠0
s(0) = 4πB
ですね。
s(t)が偶関数である(s(t)=s(-t))ことからS(w)は実関数であり、s(t)が実関数であることからS(w)が偶関数(正確にはS(w)=S*(-w), *は複素共役。ですがS(w)が虚数成分を持たないのでS(w)=S(-w)。)であることが解ります。

さて手抜きをする方法をお教えしましょう。
S(w)はs(t)のフーリエ変換です。先にばらしてしまうとsincのフーリエ変換は「矩形」です。(この事はフーリエ変換の基本中の基本であり、応用も広いから知っていて損はない。)すなわち
S(w) = 0 .... |w|>W
S(w) = C .... |w|<W
の形をしている。これを逆フーリエ変換
s(t) = (1/(2π))∫S(w)exp(jwt) dw (積分範囲は-∞から∞)
で元に戻してやると、
s(t) = (C/(2π))∫exp(jwt) dw (積分範囲は-WからW)
ここにjは虚数単位で、
exp(jwt) = cos(wt) + j sin(wt)
であり、sin(wt)の方は奇関数だから0になるに決まってるし、cos(wt)が偶関数であることから、
s(t) =(C/π)∫cos(wt) dw (積分範囲は0からW)
= C sin(Wt)/(πt)
(ほらちゃんとsincの形になったでしょ。)よって、
C sin(Wt)/(πt) = 2sin(2πBt) /t
となるようにW, Cを決めればよい。
W=2πB
C=2π
です。従って、
S(w) = 0 .... |w|>2πB
S(w) = 2π .... |w|<2πB
が答。おおっと、B≦0の場合にはこれじゃダメですね。
S(w) = 0 .... |w|>2π|B|
S(w) = ±2π .... |w|≦2π|B|... ±はBの符号と一致させる。
というのが正解か。だから、B≠0なら
|S(w)| = 0 .... |w|>2π|B|
|S(w)|= 2π .... |w|<2π|B|
であり、B=0の場合には、
|S(w)| = 0
ちゅうことになります。

え?|w|=2π|B|の所ではどうなっているかって?
S(±2π|B|)=∫s(t)exp(-(±j2π|B|t)) dt (積分範囲は-∞から∞)
=∫2sin(2πBt) cos(2π|B|t)/t dt
B>0のときは
=∫sin(4π|B|t)/t dt = π/2
B<0のときは
=-∫sin(4π|B|t)/t dt = -π/2
になります。
なおstomachmanは計算間違いの常習犯ですので、チェックは慎重に。
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