ベクトル 演算 商

質問

ベクトルの演算について質問させていただきます。

ベクトルには和と差、および積（内積と外積、スカラー倍）等の演算があると
思いますが、ベクトルに商（割り算）とういう演算はないのでしょうか？

なぜベクトルの商がないのか気になったので質問させて頂きます。
なぜないのか教えて頂ければ幸いです。

ベクトルの内積における割り算を考えてみます。
a・x=bにおいて
aベクトルへのxベクトルの正射影とその積は、
｜a｜｜x｜cosθ=bとなります。
図で描けばわかるのですが、aとbが決まってもベクトルxが一意に決まらない
ため、つまりベクトルaへの正射影であるベクトルxはいくらでも存在する。
からベクトルの商というのは考えないのでしょうか？

外積にもどうようのような理由があるからでしょうか？

以上、説明が下手くそですが気になりましたのでご回答よろしくお願い
致します。

回答No.24

stomachman · ベストアンサー

No.21へのコメントについて

> 集合Xが、ある演算について「閉じている」とは、Xの元をどれでも

> 取ってきてその演算を行うと値はXの元のであると言う事。

　その通りです。また、同じ事を指して「演算pは集合Xで閉じている」という言い方もします。ここでは集合Vを固定した話をしているので、こっちの言い方を使っています。

> 内積・外積ともに、閉じていない。

　内積はVで閉じていない。
　しかし、外積は、Vで閉じています。ただ、結合法則が成立たない。

> 四元数とはクォータニオンと呼ばれるものでしょうか？

> オイラー角のところで、ジンバルロックを回避するということで

> 見たことがあります。

　その通りです。「ジンバルロック」は機械工学で「特異姿勢」と呼ばれます。多関節アームがこの状態にハマると、先端位置の自由な動きができなくなってしまう。また、四元数は「１枚歯の歯車」の設計理論に使われたことがあります。

お礼

ご回答本当にありがとうございました。
お陰様で理解することができました。

回答No.15

noname#171582

＞　さて、ここまでは全く勝手に持ってきたベクトルx
＞についての話でしたけれども、今度は

＞　　a・x = β・・・・・（１）

＞を満たすようなxだけについて考えます。
＞そういうxはいくらでもあるんで、
＞どれでもいいからひとつ持ってきて、
-------------------------------------------
スレ主が根負けして質問がないようなので、
代わりに私メガ質問する。

ｘがいくらでもあると言うのが間違い。
1個しかない。

（１）式より
a・x = β・・・・・（１）
|a||ｘ|cosθ＝β・・・・・（２）

（２）式より
|ｘ|＝β/（|a|cosθ）・・・・・（３）

cosθは定数なので、|ｘ|は1個の解を持つ。
それともcosθは変数にするのですか？
もし、それならｘはいくらでもあることになる。

ここははっきりさせること。次のｘ＝ｙ＋ｚでも、これで
問題が発生。

-------------------------------------
そのxをaと平行なベクトルyとaと直交するベクトルz の和
　　x = y + z
として表わす。すると、
　　y = ((a・x)/(a・a))a = (β/(a・a))a
であって、右辺からxが消えています。右辺にxが出てこないということは、yがxによらず（aとβだけで）決まるということ、つまり、
---------------------------------------
＞「xがa・x = βを満たしさえすればどのxだろうが、
＞ベクトルyは同じものになる（一意的である）」
＞ということを意味しています。
----------------------------------------
ｘが多数存在するような物の言い方だが上で説明したように
ｘの解は1個しかない。それともcosθも変数にするのですか？

変数にするのなら解は無限に出て来る。
「yがxによらず（aとβだけで）決まる」は誤り。
”決まらない”

cosθをパラメータ変数にすることはｘが定まらない
ことであり、三角形の形が変わることである。

従って、ｘ、ｙ、ｚがグルグル動いて定まらない。

cosθが定数なのか、パラメータなのかはっきりさせることです。

回答No.14

stomachman

ANo.12へのコメントについてです。

> （aとxのなす角θをつかって考えてみます）

　つまり
　　cosθ = (a・x)/(|a||x|)
ですね。ここに
　　|a| = √(a・a),　だから (a・a) = |a| ^2
　　|x| = √(x・x),　だから (x・x) = |x| ^2
です。

> a・xcosθ=β

　間違ってます。a・x = βなのだから、
　　a・xcosθ = (cosθ) (a・x) = β cosθ
でなくちゃいけません。

> xcosθ=（β/（a・a））・a

　（β/（a・a））はスカラーですよ。スカラーとベクトルaの内積は意味をなしません。左辺をθなしで表そうというのなら、
　　x cosθ= ( (a・x)/(|a||x|) )x = ( β/(|a||x|) ) x
です（cosθ = (a・x)/(|a||x|)を代入しただけ）。なお、
　　|x| cosθ = (a・x)/|a| = β/|a|
も成立ちますね。

　もしかして、xcosθはベクトルxの「aと平行な成分」を表していると思っていらっしゃる？それは間違いです。xにスカラーを掛けて（この場合はcosθ倍して）も、ベクトルの方向は変わりませんから、aと平行なベクトルは得られません。
　ベクトルxの「aと平行な成分」はベクトル ((a・x)/(a・a))aであり、θを使って書くならベクトル(|x|cosθ/|a|)aです。その長さだけを見ると
　　|((a・x)/(a・a))a| = ((a・x)/(a・a))|a| = (a・x)/|a| = |x|cosθ
だから、お書きの式とちょっと似ていますけれども、 |x|cosθはスカラーである。長さなんだから当然です。

> x=1/cosθ・（β/（a・a））・a

　これも成立ちません。なお、"・"はベクトル同士の内積を表す記号です。「cosθ」の直後にある"・"は、うっかりスカラーのかけ算と内積とを混同なさったんじゃありませんか？よほど注意しなくちゃいけません。

> このcosθを定数（ベクトル）cを使って表すと
> x=（β/（a・a））・a+c

　「β/（a・a））・a」の部分はスカラーとベクトルaの内積の形をしている。これが誤りなのは既に指摘しました。

> xはaと平行な成分については一意的に決まるが、
> aと直交する成分は任意である。

　その通りです。

> aとxが平行とはcos0、直交するとはcos（π/2）
> ってことでしょうか？

　ベクトルaが決まっている時に、勝手なベクトルxをひとつ持ってきます。すると、xは、aと平行なベクトルy (aと平行な成分)と、aと直交するベクトルz (aと直交な成分)との和
　　x = y + z
として一意的に表せます。ここで、 aとyが平行というのは
　　a・y = |a||y|
つまり aの方向とyの方向がなす角度をψとすると、cosψ = 1 であるということですし、aとzが直交というのは
　　a・z = 0
つまり、aの方向とzの方向がなす角度をζとすると、cosζ = 0 であるということです。
　このとき、
　　x = y + z
のy, zが具体的にどうなるかというと、まずxのaと平行な成分yは、aの方向と同じ方向を持つ単位ベクトル (1/|a|)a を|x|cosθ倍したベクトル、すなわち、
　　y = ((|x|cosθ )/|a|)a = ((a・x)/(a・a))a
となります。また(xのaと直交する成分)zは、「xから(xのaと平行な成分)yを引き算したベクトル」で表されます。（ここで言う引き算は、ベクトル同士の引き算です。）
　　z = x-y = x-((a・x)/(a・a))a
引き算によってaと平行な成分は取り除かれ、もう残っていない。だから残りはaと直交する成分、という訳です。

　さて、ここまでは全く勝手に持ってきたベクトルxについての話でしたけれども、今度は
　　a・x = β
を満たすようなxだけについて考えます。そういうxはいくらでもあるんで、どれでもいいからひとつ持ってきて、そのxをaと平行なベクトルyとaと直交するベクトルz の和
　　x = y + z
として表わす。すると、
　　y = ((a・x)/(a・a))a = (β/(a・a))a
であって、右辺からxが消えています。右辺にxが出てこないということは、yがxによらず（aとβだけで）決まるということ、つまり、「xがa・x = βを満たしさえすればどのxだろうが、ベクトルyは同じものになる（一意的である）」ということを意味しています。
　しかし、ベクトルzは、
　　z = x-((a・x)/(a・a))a = x-(β/(a・a))a
であって、右辺からxが消えません。つまり、xに依存してzは異なるのです。だから「xがa・x = βを満たす」と言うだけではzは一意的に決まらない。で、このベクトルzのことを、これまでベクトルcと書いていたわけです。

　ところで、これまでのお話で、どういう間違いをなさるかが大体分かってきました。どうやら、言葉で曖昧に理解したつもりのことを勘で式に書き下そうとなさる。これがよろしくない上に、ベクトルとスカラーをついつい混同しちゃうんですね。
　ならば、ベクトルaだのxだのというのは一度やめにして、まずは2次元ベクトルに限定し、全部(a1, a2)とか(x1, x2)のように表してお考えになってはどうでしょうか。式に出て来るものは全てスカラーに統一するんです。内積もa・xだの(a1, a2)・(x1, x2) と書いてないで、
　　 a1 x1 + a2 x2
と展開して扱う。こうすれば、うっかり変な式を書いちゃったときにも、すぐにおかしいと気付けるでしょう。
　これですっかり納得が行ってから、3次元以上のベクトルについてお考えになると良いだろうと思います。

> x=（1/(0,1)(0,1)）・(0,1)+cというように計算しているんですよね？
> なぜ、cの部分が（γ,0）と平面で考えた場合のy成分は0になるのでしょうか？
> 内積だからでしょうか？

　　(0,1)・c = 0
の左辺のcに(c1, c2)を代入してみますと、左辺は
　　(0,1)・(c1, c2) = 0×c1+1×c2 = c2
ですね。だから
　　c2 = 0
つまり、c2は０と決まります。そして、c1がどんな値であっても (0,1)・(c1, 0)= 0×c1+1×0 = 0 である。だから、
　　(0,1)・c = 0
を満たすcはc=(γ,0) (γは任意の実数）だ、ということになるわけです。

> saganstarさんの回答にありますが、

　　(1,2)・(1/5, -1/5) = 1
が本当に成立つかどうか、左辺を計算して確かめてごらんなさい。（笑)

お礼

いつもご回答ありがとうございます。
どうやら私は内積の理解もできていないようですね。。。

まず参考書で内積を復習します。

整理した上でご回答頂いた内容に関して疑問点があれば
再度質問させて頂きます。本当にすいませんm（_ _）m
お時間がある時でよいのでご回答よろしくお願い致します。

回答No.13

noname#171582

＞このためxは一意的には決まらない。
---------------------------
そうかな。

＞たとえば1/(0,1)をやってみると、(0,1)・x=1・・・（３）
＞ となるxは
＞　x = (0,1)+(γ,0) (γは任意の実数）ということです。
-----------------------------------------------------
（３）式からｘ（０，１）がでますね。

回答No.12

stomachman

ANo.10へのコメントについてです。

> どちらをとっても同じ値のスカラー量になりますよね？


同じです。　
　　a・x = x・a
である。内積の定義に戻ってお考えになれば自明です。

> スカラーをベクトルで割ることってできるのですか？

　あららら、それはこのご質問そのものじゃないですか！どうやら堂々巡りなさってるようですね。

　もう一度まとめておきましょう。
「スカラーβをベクトルaで割る（β/a）」ということを「内積の逆」、すなわち「a・x=βを満たすx」のことだと定義した場合、xはaと平行な成分については一意的に決まるが、aと直交する成分は任意である。このためxは一意的には決まらない。たとえば1/(0,1)をやってみると、(0,1)・x=1 となるxは
　　x = (0,1)+(γ,0) (γは任意の実数）
ということです。

補足

いつもご回答ありがとうございます。
本当に何度もすいませんm（_　_）m

先にご回答下さいました、
x = (β/ (a・a) )a + c
について、
βはスカラー量だから、割り算をするために
分母に（a・a）つまりノルムを使ってスカラー量同士の
割り算をしていると認識しました。

よって、今回の質問の趣旨である
ベクトルの内積における割り算は、
（aとxのなす角θをつかって考えてみます）

a・x=βについて、aとβが既知でxが求められるか
という問で、

a・x=β
xのaへの正射影を考えることとします。
a・xcosθ=β
xcosθ=（β/（a・a））・a
x=1/cosθ・（β/（a・a））・a
とaとxのなす角θによってxが変わることがわかります。
このcosθを定数（ベクトル）cを使って表すと
x=（β/（a・a））・a+c
となると認識しています。
よって、aとβが既知でもxは一意に決まらない。
aとβが既知でさらにaとxのなす角が決まればxは一意に
決まるという感じで認識しております。

ここまでで間違いありますでしょうか？

xはaと平行な成分については一意的に決まるが、
aと直交する成分は任意である。
aとxが平行とはcos0、直交するとはcos（π/2）
ってことでしょうか？

スカラーをベクトルで割ることについてですが、
＞たとえば1/(0,1)をやってみると、(0,1)・x=1 となるxは
＞x = (0,1)+(γ,0) (γは任意の実数）
この場合も、
x=（1/(0,1)(0,1)）・(0,1)+cというように計算しているんですよね？
なぜ、cの部分が（γ,0）と平面で考えた場合のy成分は0になるのでしょうか？
内積だからでしょうか？

以上、長々と本当に申し訳ございません。。。
ご回答よろしくお願い致します。

回答No.11

noname#171582

＞たとえばβ=1、a=(1,2)のとき、
＞「β/a」はいくらだとおっしゃるんでしょう？

はい。
β/a
＝β（１，０）/a（１，２）
＝（1/５、-1/５）

とおっしゃるのです。

回答No.10

stomachman

ANo.9へのコメントについてです。

> a・x = βについての商を考える場合、
> 私はa（xベクトルに正射影するベクトルをaとしています）が

> 任意に定まらないため積分定数のようなイメージでcを使っていました。

　ANo.6, 8, 9では一貫して「a・x=βを満たすx」の話をしています（ANo.5もそうなってますね）。ここで、aは既知のベクトル、βは既知の数値です。（「aが任意に定まらない」がどういう意味かは不明ながら、）だからaとβが定まっていることが前提です。
　その上で、「a・x=βを満たすx」というだけではxが一意的には決まらない、ということを表すために「積分定数のようなイメージでcを使」うんです。

> a・x=a（β/a+c）

　この式の右辺は式として意味を持ちません。βはスカラー、つまり数値ですが、aはベクトルであり、従って「β/a」の部分は「スカラーをベクトルで割る割り算」という形になっているからです。たとえばβ=1、a=(1,2)のとき、「β/a」はいくらだとおっしゃるんでしょう？

補足

いつもご回答ありがとうございます。
理解できました。

βがスカラーだということを忘れてました。
おっしゃるとおりですね。

ちなみに、a・xについてはaベクトルのxベクトルへの
正射影ベクトルとxベクトルの積と考えています。
stomachmanさんはxベクトルのaベクトルへの正射影
ベクトルとaベクトルとの積なのでしょうか？
どちらをとっても同じ値のスカラー量になりますよね？

a・xといった場合、aからxへの正射影なのかxからaへの正射影の
どちらなのでしょうか？

saganstarさんの回答にありますが、
スカラーをベクトルで割ることってできるのですか？
先の質問で理解したのですが、ちょっと疑問に思いました。。。

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

回答No.9

stomachman

ANo.8へのコメントについてです。

>なぜ、c = x - (β/ (a・a) )aが出てくるのでしょうか？

　ANo.8には何のトリックも技巧もありません。

　　a・x = β+a・ c

という式は、勝手なベクトルxが「aと内積を取ったらβになる成分」と「残り(a・ c )」に分解されるということを表しています。で、この式を満たすようなcが、どんなx,a,βについても必ず存在することを、実際にcを構成する（cの計算の仕方を具体的に示す）ことによって証明したのです。なので、 分母の(a・a)も「わざわざ」作ったのではなくて、cを計算するために必要だからこそ、そこにあるんです。


> 上の式はc=0がわかっている前提で作られた式ですか？？


　いいえ違います。そもそもc=0じゃありませんよ。
　cがa・ c =0を満たしさえすれば、x = (β/ (a・a) )a + c は方程式a・x = βを満たす。そして、a・ c =0を満たすようなベクトルcは、方向は決まっている（すなわちaと直交している）けれども長さ|c|はどうであっても良いのです。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

＞そもそもc=0じゃありませんよ。
おっしゃるとおりですね。
c=0ではなく、a・ c =0を満たすためには、aとcが直交ですね。
こちらは理解できました。

すいません。。。
話が最初に戻るのですが、
a・x = βについての商を考える場合、
私はa（xベクトルに正射影するベクトルをaとしています）が
任意に定まらないため積分定数のようなイメージでcを使っていました。

そうすると、
a・x=β
について、
x=β/a+cとなって、
c = x - (β/ (a・a) )a
となります。ここまでの考え方はOKでしょうか？

また、なぜ（a・a）としているのかがわかりません・・・
[（a・a）とせずに解いてみます]、
x=β/a+c
元の式に代入すると、
a・x=a（β/a+c）
a・x=β+a・c

どこか間違いがあるでしょうか？

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

回答No.8

stomachman

ANo.6へのコメントについて。

　お書きの「証明」はなんかちょっとよく分からんですね。

　内積(a ・x)はスカラーなので、ベクトルと区別しやすくするためにこれをβと書きましょう。
　　β= a ・x
　さて、勝手なベクトルをxとして、aとxに対してベクトルcを
　　c = x - (β/ (a・a) )a
とおくと、（注： (a・a) はaの長さの2乗ですね。）
　　a・x =a・((β/ (a・a) )a + c) = (β/ (a・a) )(a・a) +a・ c = β+a・ c
です。なので、これが
　　a・x =β
となるためには丁度
　　a・ c =0
となること、つまり、aとcが直交していることが必要十分条件だと分かります。

　まとめると、
「a・x =β を満たすxは、aと直交する任意のベクトルをcとするとき、
　　x = (β/ (a・a) )a + c
である」
ということになります。

補足

いつもご回答ありがとうございます。
ベクトルの商に関しての質問は解決したのですが、
証明が理解できません。

ご回答下さいました、
β= a ・x
　さて、勝手なベクトルをxとして、aとxに対してベクトルcを
　　c = x - (β/ (a・a) )a
とおくと、（注： (a・a) はaの長さの2乗ですね。）

なぜ、c = x - (β/ (a・a) )aが出てくるのでしょうか？
上の式はc=0がわかっている前提で作られた式ですか？？

また、わざわざ分母に (a・a)を作る理由がわかりません。

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

回答No.7

noname#171582

ベクトルを
A(0,2)
B(1,1)
とするとき
ベクトルの割り算は
A/B＝２C(1/√２、1/√２）となる。

回答No.6

stomachman

3次元ベクトルの外積 a×x=cを成分ごとに書き出してみると、
　　c1 = a2 x3 - a3 x2 …(1)
　　c2 = a3 x1 - a1 x3 …(2)
　　c3 = a1 x2 - a2 x1 …(3)
xを未知数だと思えばこれは連立方程式。未知数3個で式が3本なら解けそうなもんですね。ところが、係数行列の行列式は0だから、解が一意的でないことが分かります。具体的に言うと、
　　(3式)=-((1式)×(a1) + (2式)×(a2))/a3
になっているんで線形従属であり、独立な式は2本しかない。
　aとxから外積cを作ったとき、cはaともxとも直交、という条件が満たされる。その代わりに、aとxが持っていた情報の一部が失われてしまう。そのため、aとcだけではxを再現できない、という状況になっている。
　こう考えると、内積の場合にはもっと酷くて、式が1本しかないわけですから、言わずもがなですね。

　逆に言いますと、演算によって情報を失わない（方程式が一意的な解を持つ）ような積を（無理矢理にでも）考えれば、その積について逆演算（割り算）が定義できる訳です。たとえば、
　　a $ x = d ただし、
　　d1 = a1 x1
　　d2 = a2 x2
　　d3 = a3 x3
という演算$を「これは私が考えた積なんです」と勝手に宣言する。これなら、どれかの成分が0でない限り情報が失われないので、その場合にはaとdからxを再現できる。（でも、何に使うのかって訊かれたら、そんなもん知るかあ～！ ってことになりますけど。）

　別の言い方をするなら、外積や内積は「なんか役に立つ演算」であり、それらは、たまたま「積」という文字が入った名前がついているけれども、しかし「こういう」意味での積ではない、という風に理解しておいてもいいんじゃないでしょうか。

補足

ご回答ありがとうございます。

検索しているといくつかhitしました。
内積の商に関して説明されているサイトがありました。

a・x=b（a≠0）
を満足するベクトルxは、
x=（ba/a^2）+（Ca）
ただし、Cは任意のベクトル。

証明は、
a・（ba/a^2+Ca）=b・・・(1)
a（ba/a^2）+a（Ca）=b・・・(2)
a・a=a^2，a（Ca）=0だから・・・(3)
x=（ba/a^2）+（Ca）
というように記載されていました。
(3)のa（Ca）=0の意味がまったくわかりませんが・・・
上の証明がなぜ正しいのか教えて頂けませんか？

おっしゃるとおり、ベクトルの商に関しては特に掘り下げて考えて
もあまり実りがないですね。

以上、よろしくお願い致します。