極限の問題と解法についての質問
- 極限の問題において、分母が0にならないように変形する方法について質問があります。問題の模範解答では、分子と分母をnで割ってn→∞とした結果、極限の値が+∞になると述べています。しかし、高校で習った通りに分母が0にならないように変形する方法を使ってもいいのか疑問に思っています。
- もう一つの質問は、追い出しの原理を使った極限の問題です。質問者は、式lim[n→∞](n^5-3n^4)において、n≧1の範囲でn^5(1-3/n)≧n^5(1-3)と評価して-∞となると考えましたが、模範解答ではn≧4の範囲でn^5(1-3/4)と評価して+∞としています。質問者はなぜ自分の評価が間違いなのか疑問に思っています。
- 極限の問題で分母が0にならないように変形する方法や追い出しの原理の適用範囲についての疑問があります。教えていただけると助かります。
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極限のこと・・
2^5は“二の5乗”の意です。√は()まで含みます。 / は分数です。 lim[n→∞](n+1)/{√(n^2+2n)- √(n^2+n)}…(1) を解くのに有利化するのではなく、 分子、分母をnで割って、n→∞とすると分子→1、分母→+0 よって(1)は+∞となる と問題模範解答にあったのですが、このやり方は○になるんですか?分母が0にならないようにうまく変形しろと高校では習いましたが…どうなんでしょうか?? もう一つ質問させてください。追い出しの原理で lim[n→∞](n^5-3n^4) ここでn^5(1-3/n)≧n^5(1-3) …(2) (n≧1) n→∞で∞・(-2)より-∞ としたら間違いでした。 模範解答は(2)で n^5(1-3/4) (n≧4)と評価して∞を答えとしていました。 なぜいけないのでしょうか?? 教えてください。。よろしくお願いします。
- chammimos
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一点め: この問題に限っては、そのやり方でも ok。 有理式の極限を求める際の基本手技だが、 今回それが使えた理由は、答えが発散だったから。 有限値に収束する場合、同じようにすると 0/0 になってしまい、答えが出ない。 そこを何とかする技法が「有理化」という訳。 二点め: その追い出し方では、与式≧-∞ しか言えてない。 そのこと自体は間違っていないが、 ≧-∞ というだけでは、極限がどうなるのか 何も判らない。 まして、与式=+∞ を示したことにはならない。
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- alice_44
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いや、 nの5乗-3nの4乗 = (nの5乗)(1-3/n) ≧ (nの5乗)(1-3) は、評価が甘過ぎて極限の計算には役に立たない というだけで、大きな n でもちゃんと 成立している不等式だからね。
お礼
ありがとうございます。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>このやり方は○になるんですか? ○ですね。 >分母が0にならないようにうまく変形しろと高校では習いましたが…どうなんでしょうか? これには前提条件があります。 0/0形、∞/∞形、∞-∞形、定数/(∞-∞)形の場合であることが前提条件です。 なので、前提条件に当てはまらない、定数/0形、定数/∞形、0/定数形、∞/定数型(定数はゼロでないとする)については模範解答のようにやっても構わないのです。 >模範解答は(2)で n^5(1-3/4) (n≧4)と評価して∞を答えとしていました。 >なぜいけないのでしょうか?? nはn→∞を考えているため本来は非常に大きなn≧N(Nは大きな自然数)でないといけないということです。つまりNは「n→∞の時の性質を失わないように」Nを選ばないといけないということです。 ここではN≧4なのです。 なので模範解答はn≧N≧4なのでOKなのです。 質問者さんのnはn<Nのnを選んでいいるのでダメなのです。 そのため、間違った結果が導かれたのです。 つまり、n=1,2,3ではn→∞の時の性質を失っているので適用できないということです。
お礼
有難うございます。
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お礼
ありがとうございます。