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整数問題です。お願いします。
staratrasの回答
- staratras
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すべての素数pが p=2^m+3^n …(1) または p=2^m-3^n …(2) または p=3^m-2^n …(3) の形で表せるか あまりエレガントな証明ではありませんがp=53が反例であることを示します。 53=2^1+51=2^2+49=2^3+45=2^4+37=2^5+21<2^6=64 なので(1)の形式では表せません。 次に(2)の形式で表せたとすると、53=2^m-3^n より 2^m=3^n+53…(2’) となります。m≦5のときこれを満たす正の整数nはないのでm≧6とします。ここで(2’)の両辺を64=2^6で割った余りを考えますと、m≧6より左辺は割りきれて余りは0なので,右辺も割りきれるためには3^nを64で割った余りが64-53=11にならなければなりません。 ここで3^nを64で割った余りを考えますと、n=1,2,3…のとき次の通りです。 3→9→27→17→51→25→11(n=7)→33→35→41→59→49→19→57→43→1→3(以下繰り返す)→9→27…(4)このように周期16で繰り返しますので題意を満たすのはn=16p+7(p:負でない整数)のときです。 一方3^nの末尾の数を計算すると、3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243だから 3→9→7→1→3→9→7(n=7)→1→3…と周期4で循環するため、常に3^(16p+7)の末尾の数は7です。したがってこれに53を加えた(2’)の左辺3^n+53の末尾の数字は0となりますが、0は右辺の2^mがとり得る末尾の数字ではありません。よって(2’)は成立せず、53は(2)の形式では表せないことがわかります。 また(3)の形式で表せたとすると、53=3^m-2^n より 3^m=2^n+53 …(3’)となりますが、ここでn≦5のときこれを満たす正の整数mはないのでn≧6とします。このとき両辺を64=2^6で割った余りを考えますと、n≧6より2^nは64で割りきれ右辺の余りは53です。左辺の3の累乗を64で割った余りは上記(4)で示したように循環し、53にはなりません。したがって(3’)は成立せず、53は(3)の形式でも表せません。 よって素数53は2の累乗と3の累乗の和や差では表せません。
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