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整数問題です。お願いします。
FT56F001の回答
- FT56F001
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「正の整数n,mに対して， 2^m+3^n，2^m-3^n，3^n-2^mのどの形でも53にならない」 ことを示します。 (以下，もっとスマートに証明できるかもしれませんが，とりあえず思いついた形です) まず，53=3+50=9+44=27+26なので，53=3^n+2^mの形にはなりません。 次にmod73の剰余系合同式を考えます。 2^m(m=0,1,2,3・・・)をとると， 1,2,4,8,16,32,64,55,37,1となり， 2^9≡1(mod73)になってその後は繰り返します。 3^n(n=0,1,2,3・・・)をとると， 1,3,9,27,8,24,72,70,64,46,65,49,1となり， 3^12≡1となってその後は繰り返します。 3^n-2^m=53になるとすると，2^m+53=3^nになります。 2^m+53≡54,55,57,61,69,12,44,35,17,54,55(mod73)と繰り返すので， 3^nの中にmod73で一致する物がありません。 2^m-3^n=53になるとすると，2^m-53≡2^m+20≡3^nになります。 2^m+20=21,22,24,28,36,52,11,2,57,21,22と繰り返すので 3^nの中で一致するのは2^2+20=24≡3^5だけです。 すなわち，mod73で考えると， 2^(2+9k)-3^(5+9k')=53の形しかありえないことになります。 続いて，mod7の剰余系合同式を考えます。 2^m(m=0,1,2,3,・・・)をとると， 1,2,4,1,2,4の繰り返しになり，2^3≡1(mod7)です。 しかし，2^(2+9k)の形しかないので，2^m≡4(mod7) となります。しかし，53≡4(mod7)ですから 2^(2+9k)-3^n=53がなりたつためには，4-0=4，すなわち 3^nが7の倍数にならなければなりません。これはありえないので， この形は存在しないことになります。 よって，2^m+3^n，2^m-3^n，3^n-2^mのどの形でも53にならないことがわかりました。
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お礼
ありがとうございます。 なるほど理解できました。 法の取りかたに工夫がいるんですね。