微分の問題：接線の再交点のx座標を求める
- この質問は微分の問題で、曲線y=3xーx^2上のx=-2に対する点における接線が再びこの曲線と交わる点のx座標を求めるものです。
- 接線の方程式を用いると、2つの解が得られますが、自力で解いたところ答えが合わなかったようです。解答に載っている解法では、x=4が答えとなります。
- なぜこの解法では答えが出ないのか、理解できていないとのことで、解法の詳細について教えてほしいとのことです。
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微分の問題です
y=3xーx^2上のx=-2に対する点における接線が再びこの曲線と交わる点のx座標を求めよ。 xに代入して y=8-6=2 (-2,2) y´=3ー3x^2 もう一つの接点を(a,-a^3＋3a)とおくと 接線の方程式はy＋a^3ー3a=(-3a^2＋3)(x-a) これが(-2,2)を通るので 2a^3＋6a^2ー8=0 組立除法を用いて (a-1)(a^2＋4a＋4) (a-1)(a＋2)^2 a=1,-2 xは-2以外の実数解なので ∴x=1 と自力で解き、答え合わせをしたんですがどうやら答えが違うようで・・・ 因みに解答に載っている解法は理解でき、x=4になるそうです。 つまりなぜこの解法だと答えが出ないのかをご教授願いたいです。 かなりわかりづらい文かと思いますが(不明な点があれば補足で答えさせていただきます！) よろしくおねがいします。
- kanata37
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まず確認なんですが問題はy=3xーx^2上でなくてy=3xーx^3上ですよね。 で何がいけないかというと あなたの解答は(-2,2)を通るもう一つの接戦の接点を求めているということです。 >y=3xーx^2上のx=-2に対する点における接線が再びこの曲線と交わる点のx座標を求めよ。 >xに代入して y=8-6=2 (-2,2) >y´=3ー3x^2 >もう一つの接点を(a,-a^3＋3a)とおくと >接線の方程式はy＋a^3ー3a=(-3a^2＋3)(x-a) ・・・たしかに接戦の方程式はこれですね。 >これが(-2,2)を通るので ・・・x=-2における接戦が再び交わる時のxにおける接戦は(-2,2)を通りません。これは(-2,2)を通るもう一つの接戦を求めようとしているということです。 >2a^3＋6a^2ー8=0 >組立除法を用いて >(a-1)(a^2＋4a＋4) >(a-1)(a＋2)^2 >a=1,-2 >xは-2以外の実数解なので >∴x=1 ・・・確かにx=1における接戦はy=2となって(-2,2)を通ります。 分かりづらくて申し訳ありません； グラフを書いてみるとわかりやすいと思います。
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- mister_moonlight
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＞組立除法を用いて x=-2で接するんだから 初めから(x+2)＾2という重解を持つ。 だから、3次方程式を(x+2)＾2で割る、or、x+2 で因数分解してやればいいだけ。 計算ミスは別にして、“接する”という意味が分かってないんじゃないか？ 持ち出す道具は、出来るだけ簡単なものが良い。生兵法は怪我の元。
お礼
問題の意味をうまく理解できていなかったみたいです・・・ 解答に載っていた解法は単純なモノだったのでそちらを覚えようと思っています！
- ShowMeHow
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詳しく見ていないけど、 y=3x-x^2 なんだったら、 y'=3-2x なんじゃない？
お礼
申し訳ありません； それはこちらのミスです＞＜ y=3x-x^3です！
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お礼
>まず確認なんですが問題はy=3xーx^2上でなくてy=3xーx^3上ですよね。 そうです！その通りです！ こちらのミスでわかりづらくなってしまい申し訳ありません＞＜ グラフなんてなくても意味は理解できました！ (-2.2)を通るもう一つの接線を求めていたから違う答えが出てしまったという事ですね！ わかりやすい解説で助かりました！ ありがとうございます!!