数学

質問

「△ＡＢＣについて、ＡＢ＝７、ＢＣ＝４√２、ＣＡ＝５のとき、△ＡＢＣの内接円の半径は□－√△」

□と△に入る数字を求めよ。

答えと途中式を教えてください。

回答No.3

yyssaa

内接円の中心をO、半径をr、点Oから辺AB、BC、CAへそれぞれ垂線
を下ろし、それらの足をそれぞれD、E、Fとすると、OD=OE=OF=rと
なり、△ABOは底辺AB高さOD=rの三角形となり
△BCOは底辺BC高さOE=rの三角形となり、△ACOは底辺AC高さOF=rの
三角形となるので、これらの三つの三角形の面積の和は△ABCの
面積と等しくなります。
△ABOの面積=(1/2)*7*r
△BCOの面積=(1/2)*(4√2)*r
△ACOの面積=(1/2)*5*r
三つの三角形の面積の和=(1/2)*(12+4√2)*r=(6+2√2)*r
次に△ABCの面積を計算するため、点Aから辺BCに垂線を下ろし、
その足をGとすると、
BG+CG=BC=4√2　→　CG=(4√2)-BG・・・(ア)
BG^2+AG^2=AB^2=49　→　AG^2=49-BG^2・・・(イ)
CG^2+AG^2=AC^2=25・・・(ウ)
(ア)を(ウ)に代入して((4√2)-BG)^2+AG^2=25
32-(8√2)BG+BG^2+AG^2=25
(イ)を代入して32-(8√2)BG+BG^2+49-BG^2=25
81-(8√2)BG=25　→　BG=56/8√2=7/√2
(イ)に代入してAG^2=49-(7/√2)^2=49-49/2=49/2　→　AG=7/√2
よって△ABCの面積=(1/2)*AG*BC=(1/2)*(7/√2)*4√2=14
先に求めた三つの三角形の面積の和=(6+2√2)*rと等しいとおいて
(6+2√2)*r=14
r=14/(6+2√2)=7/(3+√2)=7*(3-√2)/((3+√2)*(3-√2))
=7*(3-√2)/(9-2)=3-√2
よって答えは半径は□－√△＝３－√２となります。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足について

>答えと途中式を教えてください。
ちゃんとこれだけの回答は完璧にお書きしました。

A#1は教科書に載っている公式です。
図は自分でお描きください。
内心（内接円の中心）と各頂点を結ぶ補助線をひき
３つの三角形に分割すれば三角形の面積Sと内接円の半径rとのs=(a+b+c)/2
の関係を示す公式S=rsは図的にも理解できるはずです。
ヘロンの公式も教科書に説明があると思います。

教科書を復習して教科書の公式の説明を読み理解する位の自力努力は
自身でおやりください。

補足

でも学校(かなり学力の低い高校)で、こんな回答見たことないです。

単純な途中式と回答はないのでしょうか？

申し訳ないです(;_;)

回答No.1

info22_

三角形の面積はヘロンの公式により
s=(7+4√2+5)/2=6+2√2
S=√{(6+2√2)(6+2√2-7)(6+2√2-4√2)(6+2√2-5)}
=√{(6+2√2)(2√2-1)(6-2√2)(2√2+1)}
=√{(6+2√2)(6-2√2)(2√2-1)(2√2+1)}
=√{(36-8)(8-1)}
=√(28*7)
=14

公式S=rsより
内接円の半径r=S/s
=14/(6+2√2)
=14(6-2√2)/(36-8)
=3-√2
□=3
△=2

補足

もっと簡単な途中式と回答をお願いしたいです。

そんなに難しい感じの回答ではなくて…