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高校数学です。「 円周を n等分する点を、～」

高校数学です。次の問題の解と解法がわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか。 「 円周を n等分する点を、A1, A2, …, An とする。 この n個の点から異なる3個の点を選び、それらを頂点とする三角形を作ったとき、 鋭角三角形となるような選び方は何通りあるか？ (1) n=5 のとき (2) n=6 のとき (3) n が偶数2m のときと、n が奇数2m+1 のとき 」

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  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.2

#1です。 補足をされるかな？と思っていましたが、 解けたということで嬉しいです。＾＾ 一応、補足用（自分の確認用）に作っていた図があるので、 添付しておきます。 図は「特別な場合」が含まれている偶数の場合です。 ちなみに、わたしの答えですが、以下のようになりました。 n＝ 2m+1のとき、m(m+1)(2m+1)/6 個 n＝ 2mのとき、(m-2)(m-1)m/3 個 違ってたりしますか？＾＾；

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その他の回答 (1)

  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.1

少なくとも、n＝ 5や n＝ 6は図を描いて考えないとダメですね。 ですから、(1)と (2)は実際に描いて数え上げれば答えが出ます。 で、(3)の一般の場合ですが、 ・まず、1つスタートとなる点を選びます。 ・次に 2つ目の点を選ぶわけですが、ここで偶数と奇数の場合分けが効いてきます。 というのは、偶数の場合は「特別な点」が存在します。 ・最後 3つ目の点の選び方で「鋭角」「直角」「鈍角」が決まります。 （上の特別な点を除いて） 「鋭角」と「鈍角」の境界は、「直角」ですから、 「直角」となる場合がどこにあるかを考えてみてください。 ・上の過程では、「ある 1つの点（スタートの点）」を含む鋭角三角形の数です。 円周は n等分されているので、個々の点について足し合わせていきます。 ただし、このままだと重複してしまうので、最後に「3」で割ります。 （なぜ、3で割るのかは考えてみてください。）

danke020710
質問者

お礼

解法を教えてくださり、ありがとうございます！ 「1つ目の頂点を固定して考える」ということですね。なんとか解が求められました。助かりました！ （「3で割る」のは、「1つ目の頂点」を各点で数えていくと、三角形の頂点ですから、同じものを3回数えることになるからですね！）

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