数学問題解説:シニア数学演習
- シニア数学演習の問題について解説します。
- 問題では、(3+√2)^n=an+bn√2という式を用いて、正の整数anとbnを求める問題が出題されています。
- また、数学的帰納法を用いて、奇数と偶数の場合におけるanとbnの性質を示す必要があります。
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シニア数学演習 317 自然数nに対して、正の整数an,bnを(3+√2)^n=an+bn√2によって定める。 (1)a1,b1とa2,b2を求めよ。 (2)an+1,bn+1をan,bnを用いて表せ。 (3)nが奇数のとき、an,bnはともに奇数であって、 nが偶数のとき、anは奇数で、bnは偶数であることを数学的帰納法によって示せ。 解答 (1)a1=3,b1=1,a2=11,b2=6 (2)an+1=3an+2bn,bn+1=an+3bn (3)(1)kara,n=1,2のとき命題は成り立つ。 n=2k-1,2kのとき a2k-1=2h-1,b2k-1=2i-1,a2k=2j-1,b2k=2l (h,i,j,lは自然数)であるとして、 a2k+1,b2k+1,a2(k+1),b2(k+1)の偶数を調べる。 数学的帰納法の箇所を詳しく、 解説していただけると幸いです。 よろしくお願いします。
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自然数nに対して、正の整数an,bnを(3+√2)^n=an+bn√2によって定める。 >(1)a1,b1とa2,b2を求めよ。 3+√2=a1+b1√2 より、両辺を比較すると、a1=3,b1=1 (3+√2)^2=a2+b2√2 左辺=9+6√2+2=11+6√2 右辺と比較すると、a2=11,b2=6 >(2)an+1,bn+1をan,bnを用いて表せ。 (3+√2)^(n+1)=an+1+bn+1√2 ……(1) (3+√2)(3+√2)^n=(3+√2)(an+bn√2n) =3an+2bn+(an+3bn)√2 ……(2) (1)(2)の右辺同士を比較すると、 an+1=3an+2bn,bn+1=an+3bn >(3)nが奇数のとき、an,bnはともに奇数であって、 nが偶数のとき、anは奇数で、bnは偶数であることを数学的帰納法によって示せ。 n=1のとき、(1)から、a1=3,b1=1よりともに奇数 n=2のとき、(1)から、a2=11は奇数,b2=6は偶数 よって、n=1,2のとき命題は成り立つ。 n=2k-1のとき、a2k-1=2h-1,b2k-1=2i-1 n=2kのとき、 a2k=2j-1,b2k=2l(h,i,j,lは自然数) が成り立つと仮定すると、 n=2k+1のとき、 a2k+1=a2(k+1)-1=2(h+1)-1=2h+1より、奇数 b2k+1=b2(k+1)-1=2(i+1)-1=2i+1より、奇数 n=2(k+1)のとき、 a2(k+1)=2(j+1)-1=2j+1より、奇数 b2(k+1)=2(l+1)より、偶数 よって、n=2k+1,2(k+1)のときも命題は成り立つ。 従って、すべての自然数nについて命題が成り立つ。 何かあったらお願いします。
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