数列の問題です。教えて下さい！

質問

a1＝３、an+1＝２－an分の１（ｎ＝１，２，３，・・・）で定められる数列｛an｝がある。
数列｛ｂｎ｝をｂｎ＝２のｎ乗×an分の２ｎ＋１（ｎ＝１，２，３・・）によって定められる。
Ｓ＝ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋・・・・ｂｎとするときＳをｎを用いて表せ。

anは数学的帰納法を使って求めることはできたと思うのですが、
そのあとをどうやって解けばいいのか分かりません。
詳しい解説をよろしくお願いします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

ANo.2です。　

＞ ｂｎ＝（２のｎ乗×aｎ）分の（２ｎ＋１）です。
により、やり直してみました。

bn＝(2n＋1)/(2^n・an)
＝(2n＋1)/[2^n・{(2n＋1)/(2n－1)}]
＝(2n－1)/2^n
＝(2n－1)・(1/2)^n

Sn＝b1＋b2＋b3＋……＋bn　とおくと、
＝1・(1/2)＋3・(1/2)^2＋5・(1/2)^3＋……＋(2n－1)・(1/2)^n
(1/2)Sn
＝　　　　　1・(1/2)^2＋3・(1/2)^3＋……＋(2n－3)・(1/2)^n－(2n－1)・(1/2)^(n+1)
Sn－(1/2)Sn
＝(1/2)＋{2・(1/2)^2＋2・(1/2)^3＋……＋2・(1/2)^n}－(2n－1)・(1/2)^(n+1)
＝(1/2)＋{(1/2)＋(1/2)^2＋……＋(1/2)^(n-1)}－(2n－1)・(1/2)^(n+1)
＝(1/2)＋[{(1/2)(1－(1/2)^(n-1))}/{1－(1/2)}]－(2n－1)・(1/2)^(n+1)
＝(1/2)＋{1－(1/2)^(n-1)}－(2n－1)・(1/2)^(n+1)　より、
(1/2)Sn＝(3/2)－(1/2)^(n-1)－(2n－1)・(1/2)^(n+1)　だから、
Sn＝3－(1/2)^(n-2)－(2n－1)・(1/2)^n
＝3－4・(1/2)^n－2n・(1/2)^n＋(1/2)^n
＝3－(2n＋3)・(1/2)^n（n≧2）
n＝1のとき、
S1＝3－(2・1＋3)・(1/2)＝1/2
b1＝(2・1－1)・(1/2)＝1/2
だから、Snの式は、n＝1のときも成り立つ。

よって、S＝3－(2n＋3)・(1/2)^n（n≧1）

計算を確認してみてください。

お礼

解き直してくださってありがとうございます！
助かります。
もう一度自分でやってみたいと思います。

回答No.2

ferien

＞a1＝３、an+1＝２－an分の１（ｎ＝１，２，３，・・・）で定められる数列｛an｝がある。
＞ 数列｛ｂｎ｝をｂｎ＝２のｎ乗×an分の２ｎ＋１（ｎ＝１，２，３・・）によって定められる。
＞ Ｓ＝ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋・・・・ｂｎとするときＳをｎを用いて表せ。

an+1＝2－(1/an)，a1＝3＝3/1
a2＝2－(1/3)＝5/3
a3＝2－(3/5)＝7/5
　………
an＝(2n＋1)/(2n－1)（n≧1）

＞anは数学的帰納法を使って求めることはできたと思うのですが、
＞ そのあとをどうやって解けばいいのか分かりません。

＞ 数列｛ｂｎ｝をｂｎ＝２のｎ乗×an分の２ｎ＋１（ｎ＝１，２，３・・）
では、分母と分子の区別がはっきりしないので、書き方を工夫したほうがいいと思います。
ここでは、以下のように考えて解きました。

bn＝2^n・{(2n＋1)/an}
＝2^n・[(2n＋1)/{(2n＋1)/(2n－1)}]
＝2^n・(2n－1)

Sn＝b1＋b2＋b3＋……＋bn　とおくと、
＝2・1＋2^2・3＋2^3・5＋……＋2^n・(2n－1)
2Sn
＝　　　2^2・1＋2^2・3＋……＋2^n・(2n－3)＋2^(n+1)・(2n－1)
Sn－2Sn
＝2・1＋2^2・2＋2^3・2＋……＋2^n・2－2^(n+1)・(2n－1)
＝2＋{2^3＋2^4＋……＋2^(n+1)}－2^(n+1)・(2n－1)
＝2＋[{2＋2^2＋2^3＋……＋2^(n+1)}－2－2^2]－2^(n+1)・(2n－1)
＝2＋[{2(2^(n+1)－1)/(2－1)}－6]－2^(n+1)・(2n－1)
＝2＋2・2^(n+1)－2－6－2n・2^(n+1)＋2^(n+1)　より、
－Sn＝(3－2n)・2^(n+1)－6より、
Sn＝(2n－3)・2^(n+1)＋6（n≧2）
n＝1のとき、S1＝(2・1－3)・2^2＋6＝2
b1＝2・(2・1－1)＝2
だから、Snの式は、n＝1のときも成り立つ。

よって、S＝(2n－3)・2^(n+1)＋6（n≧1）

もしも問題の意味を取り違えていたら、教えてください。

補足

すいません。
ｂｎ＝（２のｎ乗×aｎ）分の（２ｎ＋１）です。
表し方がわかりにくくてすいません。
もう一度解き直してもらえたらうれしいです。

回答No.1

static_puts

以下、累乗を^の後に、添字を_の後に書くこととします。

a_1=3, a_{n+1}=2-1/a_n
b_n=(2^n)*(2n+1)/a_n
この時、b_nの総和を求める問題ですね。

質問者さんの状況を見ますと、a_n=(2n+1)/(2n-1)は求められているようですね。
一応証明しておきます。

a_1=3は条件を満たす。
a_kが条件を満たすと仮定。a_{k+1}について
a_{k+1}=2-(2k-1)/(2k+1)=(2k+3)/(2k+1)
であり、条件を満たす。故に正しい。

さて、b_nの和ですが…
a_nを代入すると
b_n=(2^n)*(2n-1)ですね。

これを順に書き下しますと
b_1=(2^1)*1
b_2=(2^2)*3
b_3=(2^3)*5
(以下略)
となります。これを見ると、式の形がよく見えてくると思います。

さて、ここで、b_{k+1}-2b_kを計算してみます。計算結果と、先に書いた式の形を見比べてください。
b_{k+1}-2b_k=2^{k+1}*(2k+1)-(2^{k+1})*(2k-1)=2^{k+2}
となります。

(等比数列*等差数列)の形なので、等比数列の公比を前の項にかけてひいてやれば、差が一定になる、と言う事です。
比較的よく使う手法ですので、ぜひ覚えておいてください。

先の結果を用いて
S-2S=b_1+(b_2-2b_1)+(b_3-2b_2)+…+(b_n-2b_{n-1})-2b_n
を計算してみます。
(b_2-2b_1)+(b_3-2b_2)+…+(b_n-2b_{n-1})
の部分は、初項8、公比2,全n-1項の等比数列ですから、その総和は
8(1-2^{n-1})/(1-2)=2^{n+2}-8
となります。後は、b_1=2,b_n=(2^n)*(2n-1)を代入してやればOKで
S-2S=2+2^{n+2}-8-(2^{n+1})*(2n-1)
これをSについて解けば
S=(2n-1)*(2^{n+1})+6
となります。

おつかれさまでした。正しいつもりですが検算してないので、念の為自分でももう一度やってみてください。