- ベストアンサー
オイラーの公式の両辺を対数にして・・・
log(e^(ix))=log(cosx+isinx) から ix=log(cosx+isinx)となり、 i=(log(cosx+isinx))/x が正しいとすると、どんなxでも 右辺は iになるのでしょうか。間違っているとすると、どこが間違っているのでしょうか。
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
log z は z=re^(iθ) としたとき log r + i θ です ただし、θは mod 2πZ です。ここが多価関数なるユエンですが、あらかじめ値の範囲を決めておけばいいです。 今の場合 r=1 ですから log(cosx+isinθ)=iθ で、成り立ってます。
その他の回答 (1)
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
>log(e^(ix))=log(cosx+isinx) から ix=log(cosx+isinx) 複素数では対数をナイーブにとることはできません 一般に,複素数の対数は 一価ではなく多価です 整数nに対して exp(iπ)=exp(i(π+2nπ)) であることを理解しましょう. 同様の落とし穴は複素数のベキにも存在します. 例えばz^{-1/2}は一価ではありません.
お礼
ご教示をもとに勉強させていただきます。ありがとうございました。
補足
iというものがxの関数として定義できると考えられるのでしょうか。
関連するQ&A
- オイラーの公式に関する素朴な疑問
有名なオイラーの公式 e^(ix)=cosx+isinxで isinx を移項してみるとcosx=e^(ix)-isinxとなりますが、左辺が実数であるとすれば右辺も実数に違いないはずですが、右辺も実数であることは一見しただけではわかりません。右辺が実数であることをオイラーの公式を使わないで納得できるためにはどのような知識が必要でしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- オイラーの公式のe^(ix)を e^(x+i)としてみた場合
e^(x+i)=e^x*e^iをオイラーの公式e^(ix)=cosx+isinxとならべてみると 何となく指数法則がほかにも含まれているような気がするのですが、何か根拠があることでしょうか。具体的には左辺の指数の*と+関係が右辺では逆転していることに関してなのですが・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- オイラーの定理の証明方法
新大学一年生です。 次のようなオイラーの定理の証明方法は正しいでしょうか?? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ e^ix=cosx+isinx を示す。 A(x)=cosx+isinx とおく。A'(x)=-sinx+icosx ∴A'(x)/A(x)=(-sinx+icosx)/(cosx+isinx )={(-sinx+icosx)(cosx-isinx)}/{(cosx+isinx )(cosx-isinx )}=i ∴A'(x)/A(x)=i の両辺をxで一回積分して log|A(x)|=ix+C (C:積分定数) ∴A(x)=e^(ix+C) ここでA(0)=cos0+isin0=1より、C=0 ∴A(x)=e^ix ∴e^ix=cosx+isinx ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 私にもわかりやすいのですが、ネットや本にはあまり載っていなく、別のテーラー展開を使ったものの方が多いです。 この方法は正しいのでしょうか?個人的には複素数で微分積分していいのかな?と疑問に思います。 新大学一年にもわかるように教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ピタゴラスの定理とオイラーの公式の関係(?)
sin^2x+cos^2x=1という公式を cos^2=1-sin^2xと変形し、虚数単位を用いて cos^2x=1+(isinx)^2とすると cosxを斜辺とするピタゴラスの定理(?)のようになりますが、これはオイラーの公式 e^(ix)=cosx+isinx と何か関係があることなのでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- オイラーの公式の証明方法
オイラーの公式e^ix=cosx+isinxは次のようにマクローリン展開を使って証明されているようです。 cosx=1-x^2/2!-x^4/4!+・・・+{(-1)^n/(2n!)}x^2n sinx=x-x^3/3!+x^5/5!・・・+{(-1)^n/(2n+1)!}x^(2n+1) e^ix=1+ix/1!+(ix)^2/2!+・・・=1+ix/1!-x^2/2!-ix^3/3! =cosx+isinx しかしながら厳密にn→∞において同じかどうか証明するためダランベールの収束判定というものを使わなければならないそうです。証明方法をご存知の方がいらっしゃったらご教示いただきたくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- オイラーの公式の変形
A=cos2π/n + isin2π/n が出てくる問題を解いてるときに式変形してたらおかしなことになったのですが、おかしいところを教えてください オイラーの公式よりe^i(2π/n)=cos2π/n + isin2π/n=A またe^ix=cosx+isinx (e^ix)^n=cos(nx)+isin(nx) x=2π/nを代入 (e^i(2π/n))^n=cos2π+isin2π=1 A^n=1 A=1 となっちゃったのですが冷静にn=4とかだとA=iになるのでおかしいのですがどこで間違えたのかよくわかりません。 根本的におかしいのでしょうか 回答よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ピタゴラスの定理 とオイラーの公式の関係
sin^2x+cos^2x=1はピタゴラスの定理の一例だと思いますが、この式をcos^2x-(isinx)^2と変形して(cosx+isinx)(cosx-sinx)=1としてみるとオイラーの公式の右辺と同じ項が出てきますが、ピタゴラスの定理とオイラーの公式の間には何か関係があるのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラー展開によるオイラーの公式の導出
たびたびすみません e^(ix),sin x,cosxをそれぞれテイラー展開して e^(ix) = 1 + ix - x^2/2! - ix^3/3! + x^4/4! + ix^5/5! + … =(1 - x^2/2! + x^4/4! …)+i*(x - x^3/3! + x^5/5! …) cos x= 1 - x^2/2! + x^4/4! - … sin x= x - x^3/3! + x^5/5! - …より e^(ix)=cos x + i*sin x ですよね。 そこで気になったのがe^(ix)の1行目から2行目に移る式なのですが。足し算引き算が無限に続く式では安易に各項を入れ替えてはいけないと聞きました。ですが、今回は入れ替えていますよね。 虚数iでくくる場合には入れ替えてもいいのでしょうか? それとも他に何か規則があるのですか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
勉強したくなりました。ご教示ありがとうございました。