回転運動の運動エネルギーについて困っています。

質問

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています．

問題は，写真に示すような長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し，そのO点を中心に角速度(θ')で回転している．棒の運動エネルギーを次の中から選べ．ただし，棒の太さは長さに対して十分に細いものとする．

という問題で，解答は

(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・v^2・ + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ

です．解説には並進運動と回転運動とに分けて解説してあり、

[並進運動]
Tr= (1/2)・m・v^2 となるのは理解できます．

[回転運動]
剛体の回転中心Oにおける慣性モーメントIo=(1/3)・m・l^2
となるのは理解できるのですが，その後の 回転中心Oまわりの回転エネルギーToは，

To=(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ のところで，

なぜ第2項がでてくるのかが分かりません．

回転の運動エネルギーは
(1/2)・(Io)・(θ')^2なのに，なぜ第2項が出てくるのでしょうか．
どなたか助けてください．お願いします．

回答No.9

hitokotonusi · ベストアンサー

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

＞解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか？

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。このまま解釈すれば意味は明確です。

クロスタームと称しているものはこれの水平成分から出てくるもので、水平成分にはO点まわりの回転による成分とO点の並進による成分の二つが共に寄与しているので、そのクロスタームが出てくるのは当たり前です。

これを展開して分割し、

(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2(cosθ)^2 + (l^2/4)θ'^2(sinθ)^2 ]
=(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2 ]
=(1/2) M V^2 + (1/2) M V l θ'cosθ + (1/8) M l^2 θ'^2

この最後の項を回転のエネルギー(1/2)(1/12)Ml^2 θ'^2 = (1/24)M l^2 θ'^2 とあわせて

(1/8) M l^2 θ'^2 + (1/24)M l^2 θ'^2 = (1/2) [(1/3)Ml^2 ] θ'^2

と書き直してしまうから意味不明な項が残るんです。

速さVで動いている台から相対速度uで質量mの質点を打ちだしたときに、質点の運動エネルギーは

(1/2)m (V+u)^2 = (1/2) mV^2 + mVu + (1/2)mu^2

で、ここからmVuだけとり出してこのクロスタームにどういう意味があるかといわれても困るでしょう。
それと同じことです。

お礼

ありがとうございました。

重心の運動エネルギーと回転によるエネルギーを合わせるとこの式が出てくるんですね。

今まで、運動エネルギーの出し方で、y方向の速度成分((l/2)θ'sinθ)を入れずに、
x方向の速度成分(V + (l/2)θ'cosθ)のみで計算してしまっていました。

おかげでスッキリしました。

回答No.8

htms42

＃６
＞#1の計算でも#3と同じ結果になっていることはすぐに確認できます。

＃３では回転運動が分離できていないという結果になっています。
分離できていないというよりは意味のよく分からないクロス項が出てきていると言う方がいいでしょう。
それと同じ結果が出てくるということは＃１でやってもやはり意味はハッキリしないということになるようです。確かに重心の運動と重心周りの運動に分離することはできますが重心の運動の表現の中にωやθが入ってきているのですから見やすくなっているというわけではありません。
元々の質問はこの式の意味についてでした。
計算したら出ましたということ以上のことが言えるといいのですが、・・・
（重心座標と相対座標で書き下す方が機械的に出すことができるという利点はありそうです。）

元々の質問文の中に書かれている式はＯ点周りの回転になっています。
慣性モーメントの値はＯ点周りのものです。Ｏ点周りの回転のエネルギーになります。
ｍｖ^2／２は回転が無いとした時の棒の運動エネルギーです。（回転が無いとした時の重心の運動エネルギーだと言っても同じです。しかし回転運動と重心運動を分離した時の重心の運動エネルギーには等しくありません。重心自体が回転するのですから当然です。）
残りの一つの項　ｍＬｖωcosθ／２　の意味が分からないというのが元々の質問でした。（私にもわかりません。）解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。この項は分離できていないことによるクロス項です。重心の座標と重心に対する座標で書きなおせば 重心の運動を表す項の中に含まれてしまいます。慣性モーメントの値も変化します。θが含まれているから回転エネルギーの方に含まれるものだという扱いに「？」が付きます。（Ｏ点の周りを回転する場合の慣性モーメントと重心周りの回転の慣性モーメントとは４倍の違いがあります。）

＃７
＞この場合には固定点まわりで考えるのが簡単です。

今考えているのは固定点周りの運動ではありません。
棒の一端が等速度運動をしている場合です。
固定点周りの剛体の回転であれば回転しかないのですから分離の必要がないのは当然です。

回答No.7

hitokotonusi

#4に補足です。

#4は回転運動を分離する必要がある場合の話で，普通の剛体振り子のように動かない固定点（というのも変な表現ですが）の場合は，運動を分離する必要がそもそもないので，この場合には固定点まわりで考えるのが簡単です。

回答No.6

hitokotonusi

束縛があろうがなかろうが，運動エネルギーはその瞬間の速度だけで決まるので，何もかわることはありません。速度さえわかれば，拘束力を含め，どこにどんな力が働いているかという情報は不要で(導出の過程に入れる余地がない），このような問題の場合，各点の速度は運動学のみで決まります。実際，#3でも使っているのは力ではなく，相対速度を使った運動学の関係だけで，#3の速度Vが拘束によって与えられているものか，拘束のない自然な運動によってきまる速度なのかによらず同じ結果です。

#1の計算でも#3と同じ結果になっていることはすぐに確認できます。

回答No.5

htms42

＃４さま

「Ｏが等速度ｖで運動する」という束縛条件のある場合について
重心を基準とすれば並進と回転が分離できるという表現を導いてあげて下さい。
私にはできません。

回答No.4

hitokotonusi

＃１ですが，補足しておきます。

剛体の運動エネルギーは，重心を基準点に選んだときだけ並進と回転に分離できるので，

・運動エネルギーを求める場合は重心を基準に取る

ことが基本です。面倒な計算をしたくなければこう覚えてください。
重心の位置を基準にとれば，どんな場合でも剛体の運動エネルギーは

A. 重心の位置にある質点(質量は剛体に等しい)の運動エネルギー
B. 重心まわりの剛体の回転エネルギー

の和で書けます。

角運動量も重心を基準点に選んだときだけ分離が可能なので，これも重心を基準に選ぶのが基本です。

角運動量と運動エネルギー以外であれば，どの点を基準にとっても等価な形で運動は記述できますので，都合のいいように基点をとってかまいません。

念のためですが，どの点を基準に選んでも剛体の角速度は等しいということも基本ですから押さえておいてください。

回答No.3

htms42

＃２です。

＃２の後半で書いたような場面で考えよということのようです。
棒の端Ｏが等速度運動をするような束縛があるという場合です。
従って重心運動とその周りの回転という枠組みで考えるのは不適当です。
Ｏの運動を基準にしてＯの周りの運動を考えることになります。
Ｏの運動を維持するためには外部との間でエネルギーの移動が必要です。棒のエネルギーは一定ではありません。回転の中心に対する位置（角度）によって変動します。

念のためにいきなり結果を出すのではなくて棒を質点の集まりとして計算してみましょう。
Ｏの速度をＶとします。
ｉ番目の質点の質量をｍi、速度をｖiとします。Σｍi＝ｍです。
Ｏに対する速度をｕiとします。ｕi＝ｖi－Ｖ　です。（ベクトルの矢印を省いています。）
棒の運動エネルギーをＥとします。
２Ｅ＝Σｍiｖi^2
　＝Σｍi(ｕi＋Ｖ)^2
　＝ΣｍiＶ^2＋２Σｍi(ｕiＶ）＋Σｍi(ｕi)^2

棒の各部分を質点と考えています。各質点はＯを中心とする回転運動をやっています。
ｕiは棒に垂直です。ｕiとＶの内積はｕiＶcosθになります。
（ここからｕi、Ｖはスカラーになります。）
質点のＯからの距離をｒi、棒の回転の角速度をω（＝θ'）とします。
ｕi＝ｒiωです。
２Ｅ＝ｍＶ^2＋２ＶωcosθΣｍiｒi＋ω^2Σｍi(ｒi)^2
　　＝ｍＶ^2＋２Ｖωcosθｍ(Ｌ／２)＋ｍω^2Ｌ^2／３

Ｅ＝ｍＶ^2／２＋ＶωcosθｍＬ／２＋ｍω^2Ｌ^2／６

重心の運動と重心の周りの運動という変形をやっているのではなくて
棒の端の点の運動とその周りの運動という変形です。
回転と並進という分離ができているのではありません。
回転運動と並進運動が分離できるという立場で解答が書かれていることが混乱のもとになっているようです。
クロス項がありますから分離できていないのです。
θを含む項をすべて回転だとしているのはおかしいですね。第２項にはＶとθの両方が入っています。
分離できるのであればＶが入ってきてはいけないのです。

回答No.2

htms42

問題文がおかしいのか何か条件が抜けているのかのどちらかではないでしょうか。

＞[並進運動]　Tr= (1/2)・m・v^2 となるのは理解できます．

これは成り立ちません。
＃１にも書かれているようにｖは棒の重心速度ではないからです。
Ｏ点で何か束縛力が働いているのでない限り、Ｏは一定の速度ｖで運動することはあり得ません。
外力が働いていなければ重心の運動が等速度運動になります。
その場合、棒の端の点Ｏのある瞬間での速度がｖであったという設定になります。

問題文の場面設定
＞長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し，そのO点を中心に角速度(θ')で回転している．

これだと重心が回転運動をしていることになります。Ｏが等速度運動をしているという設定であればレールの上にある台車に取り付けられている棒を考えないとダメでしょう。台車には駆動装置が付いていて等速度で運動するように設定されているという場面です。これを解くのは難しいと思います。

回答No.1

hitokotonusi

重心はO点から見て速さ(l/2)θ'で円運動しているので，O点から見て

水平方向に(l/2)θ'cosθ
鉛直方向に(l/2)θ'sinθ

の速さを持っています。O点自身が水平にVの速さを持っているので重心の水平方向の速さは

V + (l/2)θ'cosθ

です。これから重心の運動エネルギーを計算し，重心まわりの回転のエネルギーを加えます。

('は時間微分をあらわす)