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有限体の元の追加した体もある条件で有限体の証明
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完全な勘違いがあったのでもう一度書きます。 体Kの上の代数拡大体の元をaとし aがKに含まれずaのK係数最小多項式をf(x)でi次とすると K(a)={c(0)+c(1)・a+・・・+c(i-1)・a^(i-1))|c(0),・・・,c(i-1)∈K} です。 というのはmがｉ以上だとx^mをf(x)で割った余りをg(x)(i次未満）としたときa^m=g(a)(i次未満）となることと、 h(x)=c(0)+c(1)・x+・・・+c(i-1)・x^(i-1)としたとき h(x)=0（すなわちh(a)=0）でなければ h(x)とf(x)は互いに素だから （f(x)が約数を持てば最小多項式の仮定に反する。） α(x)・h(x)+β(x)・f(x)=1となるK係数多項式α(x)とβ(x)が存在するので α(a)・h(a)+β(a)・f(a)=α(a)・h(a)=1となり c(0)+c(1)・a+・・・+c(i-1)・a^(i-1))の逆元はα(a)となるからです。 あとはやはり数学的帰納法でしょうね？
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- jmh
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> ａは有限体Ｋの代数拡大体の元であるのに… > 説明不足でした。＃５は「有限体の元の追加した体もある条件で有限体の証明」「Ｋが有限体ならＫ（ａ）も有限体がいえれば…」へのアドバイスでした。
お礼
jmhさん参加ご苦労様でした。
- keyguy
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aが超越的だと： aは有限体Kの代数拡大体の元であるのに超越数で有り得るのでしょうか？
- jmh
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ある条件…。 ａが超越的だとＫ（ａ）は無限ですよね。だから「ａはＫ上アレ」が必要。逆にアレなら、ａの冪のＫ線型結合（←変な言い方）は有限個しかないと言えませんか。
- keyguy
- ベストアンサー率28% (135/469)
書き漏らしがありました。 単純に K(a(1),・・・,a(n))={c(0)+c(1)・a(1)+・・・+c(n)・a(n)|c(0),・・・,c(n)∈K} です。 Kの位数≦K(a(1),・・・,a(n))の位数≦Kの位数^(n+1) です。 霧がないので間違いがあってももう直さないので悪しからず。
- keyguy
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失礼しました。 単純に K(a(1),・・・,a(n))={c(1)・a(1)+・・・+c(n)・a(n)|c(1),・・・,c(n)∈K} です。 Kの位数≦K(a(1),・・・,a(n))の位数≦Kの位数^n です。 1つづつなどといったまどろっこしい事をしてもいいが話は単純です。
- keyguy
- ベストアンサー率28% (135/469)
a(1)がKに含まれないならば K(a(1))={α・a(1)＋β|α∈K,β∈K} です。 あとはKをK(a(1),・・・,a(n))へ１つづつ体拡大していく数学的帰納法。
お礼
どうもありがとうございました。 なお記号の意味ですが、ａ(1)は ａ1の１が小さい添字を意味します。
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