ガロアの基本定理の前のところ
- ガロアの基本定理の前提として、可換体論における定理2.7.3を紹介します。
- 定理2.7.3は、可換体の部分体KとL.K'の関係について述べています。
- また、証明の一部ではK'∩Lの有限次ガロア拡大体K''の存在について触れられています。
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ガロアの基本定理の前のところ
以下は,永田「可換体論」の一部ですが、 定理2.7.3. ある可換体の部分体K、L.K’について、K⊆L∩K’とする。 (イ)略 (ロ)LがKの有限次分離的拡大体で、K’がKの正規拡大体であれば、K’(L)はK’の有限次分離的拡大体で、[K’(L):K’]=[L:(K’∩L)] 証明 (ロ)Lを生成する元aのK’∩L上の最少多項式をf(x)とし、f(x)の根をa1、------、ar(r=degf)とする。K’(a)=K’(L)、K’(L)はK’のガロア拡大である。 f(x)がK’上で Π(x-ai)を因子にもったとする。(a=a1、s≦r)。 i=1~s その係数c1、---、csをとる。ci∈K’. 他方ciは、a1、------、asの整式で表されるからK上分離的。#### ゆえにK’に含まれるK’∩Lの有限次ガロア拡大体K”でc1、---、csを含むものがある。 以下は省略しますが、上記の####部分についてなぜK上分離的か説明くださればありがたいのですが。
- taktta
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>ciは、a1、------、asの整式で表されるからK上分離的。####。この####部分は、なぜK上分離的か ということですが、そんなに難しいことではありません。 『Lを生成する元aのK’∩L上の最少多項式をf(x)とし、f(x)の根をa1、------、ar(r=degf)とする』 なとっていますね。LはKの有限次分離的拡大体ですから、当然、ciは、K上分離的です。
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お礼
そういわれれば、そうですね。わかりました。ありがとうございました。