- ベストアンサー
正規部分群
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
Nに含まれないGの元xをひとつ取ってきます。 NはGの部分群なので xN={xg|g∈N}はNと素な集合です。(部分群ではないです) Nの指数が2なのだからGの左剰余類分解 G=N∪{xN} (∪は非交和) が得られますが、やはり同様に考えて右分解 G=N∪{Nx} (∪は非交和) も得られます。一般には集合として {xN}={Nx} とはならないのですが、本問では補集合が一致するので、 この式が成り立ちます。 x∈Nであれば、この式は当然成り立ちますから、 任意のx∈Gに対して xN=Nxがいえます。これはNが正規部分群であることの定義です。
関連するQ&A
- 代数学の、正規部分群の問題を教えて下さい。
Gを群、HをGの部分群、NをGの正規部分群とする。 (1)NはHN:={hn|h∈H,n∈N}の正規部分群になっている事を示しめしなさい。 (2)剰余群HN/NとH/(H∩N)は同型である事を示しなさい。 という問題です。 お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正規部分群の特性部分群が正規部分群である証明
G:正規部分群、A:Gの正規部分群、B:Aの特性部分群 とするとき、BはGの正規部分群となること この証明が分かりません。 どうやって証明すればいいのでしょうか? ご教授よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 群論について(部分群)
群Gが正規部分群Nと、部分群Hを持つとします。 このとき、HNはGの部分群となり、NはHNの正規部分群になるみたいなのですが、これは何故なのでしょうか? よろしくお願います。
- 締切済み
- 数学・算数
- Hを有限群Gの部分群・・・Nの位数lNlと指数
Hを有限群Gの部分群、NをGの正規部分群とする。 Nの位数lNlと指数(G:N)とが互いに素、lHlがlNlの約数とする。 このときH(Nであることを証明せよ。 まったくわかりません。 ヒントでもいいのでよろしくお願いします!
- 締切済み
- 数学・算数
- 加法群は半直積の正規部分群であることについて
GをGL(n,R)の部分群とし、G×R^n上に (A,a)・(B,b):=(AB,a+Ab) という演算・を定め、これをGとR^nの半直積とし、G∝R^nと書くことにします。 このとき、加法群(R^n,+)はG∝R^nの正規部分群であるといえるのでしょうか? よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数学について(正規部分群)
問:群Gの中心ZはGの正規部分群であることを示せ。 G の任意の元 a に対して a-1Na ⊆ N が成り立つ 群Gの元aに共役な元aだけであるとき、G=C(a)となり、aは群Gの任意の元と可換である。このような元の集合をGの中心という という部分はかいてあったのですが、いまいち言葉の意味が判りませんでしたので、 ご回答をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数学 群の剰余群 指数について
群の剰余群や指数について今勉強していて、持っている参考書にあまり載っていないので、ネットでいろいろ調べていたんですが、 「Gが群でHがその部分群の時、指数[G:H]が2ならHは正規部分群になる」のが当たり前のように書いてあるのですが、これがわかりません。 正規部分群はxH=Hxが成立することから導くのでしょうか? 説明がつたなくてすいません。教えてください。よろしくおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 余剰群が正規部分群でなければいけない証明
余剰群の演算において 群Gの部分群Kでa,b ∈Gの時 Ka*Kb=Kab が成り立つ時、 部分群Kは正規部分群である。 というのを証明したいのですが、 一つのやり方として、 k,k'∈K Ka=Ka*K1=Ka*Kk=Kak と出来き、 ka=k'ak'' =>k'^-1k=ak'a^-1∈K となることにより、Kは正規部分群であると言える、という証明'が記述してあるのは拝見したんですが、 もう一つの証明の仕方として、 g∈aK Kg=Kak'=Ka*Kk'=Ka => kg=k'a g=k^-1k'a∈Ka から aK⊆Ka が示せます。 そして Ka⊆aK を示すことが出来れば、Ka=aKとなり、 正規部分群の定義 aK=Kaとして、Kが正規部分群と言えるとなります。 ですが、 どうやってKa⊆aKを証明すればいいのか分かりません。。 どなたか分かる方よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
解答ありがとうございます。