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代数学の、正規部分群の問題を教えて下さい。
Gを群、HをGの部分群、NをGの正規部分群とする。 (1)NはHN:={hn|h∈H,n∈N}の正規部分群になっている事を示しめしなさい。 (2)剰余群HN/NとH/(H∩N)は同型である事を示しなさい。 という問題です。 お願いいたします。
- o-saka-iru
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Gを群、HをGの部分群、NをGの正規部分群 HN:={hn|h∈H,n∈N} とする (1) x∈N とする HはGの部分群だからGの単位元eを含む e∈H⊂G x∈N⊂G だから x=ex∈HN だから{(x∈N)→(x∈HN)}だから N⊂HN だから Nは(Gの正規部分)群だから NはHNの部分群 a∈HN b∈aNa^{-1}とすると a=hx b=aya^{-1} h∈H,x∈N,y∈N となるh,x,yがある Nは(Gの正規部分)群だから xyx^{-1}∈N だから NはGの正規部分群だから hNh^{-1}=N だから b=aya^{-1}=(hx)y(hx)^{-1}=h(xyx^{-1})h^{-1}∈hNh^{-1}=N だから{(b∈aNa^{-1})→(b∈N)}だから aNa^{-1}⊂N だから{(a∈HN)→(aNa^{-1}⊂N)}だから a^{-1}=x^{-1}h^{-1}∈Nh^{-1}=h^{-1}N⊂HN だからa^{-1}Na⊂NだからN⊂aNa^{-1} (aNa^{-1}⊂N)&(N⊂aNa^{-1})だから aNa^{-1}=N だから NはHNの正規部分群になっている (2) 写像 f:H/(H∩N)→HN/N を x(H∩N)∈H/(H∩N)→f(x(H∩N))=xN と定義すると {a,b}⊂Hに対して f(a(H∩N)b(H∩N)=f(ab(H∩N))=abN=aNbN=f(a(H∩N))f(b(H∩N)) だから fは準同型 {a,b}⊂Hに対して f(a(H∩N)=f(b(H∩N)) とすると aN=f(a(H∩N)=f(b(H∩N))=bN aN=bN b^{-1}aN=N b^{-1}a∈N {a,b}⊂Hだから b^{-1}a∈Hだから b^{-1}a∈H∩N b^{-1}a(H∩N)=H∩N a(H∩N)=b(H∩N) fは単射 aN∈HN/N とすると a=hx h∈H x∈N となる h,xがある x∈NだからxN=Nだから aN=hxN=hN f(h(H∩N))=hN=aN だから fは全射 だから fは(全単射準)同型 ∴ H/(H∩N)とHN/Nは同型
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ありがとうございます。助かりました