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代数学　群の剰余群　指数について

群の剰余群や指数について今勉強していて、持っている参考書にあまり載っていないので、ネットでいろいろ調べていたんですが、 「Ｇが群でＨがその部分群の時、指数[G:H]が２ならＨは正規部分群になる」のが当たり前のように書いてあるのですが、これがわかりません。 正規部分群はxH=Hxが成立することから導くのでしょうか？ 説明がつたなくてすいません。教えてください。よろしくおねがいします。

みんなの回答

回答No.3

指数２だから剰余類はH,G-Hの二つだけ。 従って、ｘがHに含まれなければ ｘH=G-H,Hx=G-HだからｘH=Hx。 ｘがHに含まれれば当然ｘH＝Hx。 よって、正規部分群になる。

  • minardi
  • ベストアンサー率82% (14/17)
回答No.2

指数[G:H]が２なら Hに属すx∈Gについて xH=H、Hx=H となることより またHに属さないx∈Gについて G=H∪xH　またG=H∪Hx（H∩xH=Ф,H∩Hx=Ф） となることより xH=Hxとなるのではないでしょうか。

  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)
回答No.1

Hを指数2のGの部分群とするなら、もしx∈HならxH=Hになりますし（部分群だから当然ですよね）、Hx=Hでもあります（これも明らか）。またxがHに入っていなければ、当然xHのどの元もHに属しませんし、同じくHxのどの元もHに属しません。今、Hは指数2の部分群を仮定しているのだから、G=H+xH（あるHに属さないxを用いて）と分解できます。あるいは同じxを用いてG=H+Hxです。このことからxがHに入っていようがいなかろうが、xH=Hxが導かれ、正規部分群になるのです。 指数が3以上の場合は一般にこのようなことは出来ません。

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