数学の質問に答える
- 3点A(0,0)、B(2,1)、C(2,-2)をとおる円の方程式や接線の方程式を求める問題です。
- 円と直線の共有点の個数を求める問題や円が直線から切り取る線分の長さを求める問題もあります。
- 質問文章には数学の基本的な式や定理を用いて解答する必要があります。
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数学
(1)3点A(0,0)、B(2,1)、C(2,-2)をとおる円の方程式を求めよ。 (2)点(1,7)から円x2乗+y2乗=25に引いた接線の方程式を求めよ。 (3)円x2乗+y2乗=5と直線2x-y+k=0の共有点の個数は、定数kの値によって、どのように変わるか調べよ。 (4)円C:x2乗+y2乗=10と直線l:x-y=2がある。円Cが直線lから切り取る線分の長さを求めよ。 [解答] (1)x2乗+y2乗-3x+y=0 (2)4x+3y=25、-3x+4y=25 (3)-5<k<5のとき2個 k=±5のとき1個 k<-5、5<kのとき0個 (4)4√2 考え方を教えてください。 宜しくお願いします。
- gqnn
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- 数学・算数
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(1)円の中心をS(p,q)、半径をrとおくと SA^2=p^2+q^2 SB^2=(p-2)^2+(q-1)^2 SC^2=(p-2)^2+(q+2)^2 となりこれらはすべて半径rの2乗に等しいので p^2+q^2=r^2…(1) (p-2)^2+(q-1)^2=r^2…(2) (p-2)^2+(q+2)^2=r^2…(3) が成り立ちます。 すると(1)を(2)と(3)にそれぞれ代入すると p^2-4p+4+q^2-2q+1=r^2-4p-2q+5=r^2 ∴4p+2q=5…(4) p^2-4p+4+q^2+4q+4=r^2-4p+4q+8=r^2 ∴p-q=2…(5) となります。 よって(4)と(5)より (p,q)=(3/2,1/2) となります。 よってこれを(1)に代入して r^2=(3^2+1^2)/2^2=5/2 となります。 よって求める円の中心は(3/2,1/2)、半径は√(5/2) となるのでその方程式は (x-3/2)^2+(y-1/2)^2=5/2 となります。 (2)これはいくつか解法があります。 【解法1】判別式の利用 点(1,7)を通る直線の方程式は傾きをmとおくと y-7=m(x-1) ∴y=mx-m+7 とおけます。 よってこれを円の方程式に代入すると x^2+(mx-m+7)^2=(m^2+1)x^2-2m(m-7)x+(m-7)^2=25 ∴(m^2+1)x^2-2m(m-7)x+m^2-14m+24=0 となりxの2次方程式になります。 するとこの直線は円に接するのでこの2次方程式は重解を 持つことになります。 よって (判別式)/4=m^2(m-7)^2-(m^2+1)(m^2-14m+24)=0 ∴m^4-14m^3+49m^2-(m^4-14m^3+25m^2-14m+24)=0 ∴24m^2+14m-24=0 ∴12m^2+7m-12=(3m+4)(4m-3)=0 ∴m=-4/3,3/4 となります。 よって求める直線の方程式は y-7=-(4/3)(x-1) ∴y=-(4/3)x+(25/3) y-7=(3/4)(x-1) ∴y=(3/4)x+(25/4) となります。 【解法2】点と直線の距離の公式の利用 点(1,7)を通る直線は円x^2+y^2=25=5^2に接します。 すると円の中心は原点(0,0)、半径は5と分かるので 原点から接線との距離は円の半径の5になります。 するとy=mx-m+7⇔mx-y-m+7=0なので 点と直線の距離の公式より |-m+7|/√{m^2+1)=5 が成り立ちます。 よって両辺を2乗して整理すると (m-7)^2=25(m^2+1)⇔24m^2+14m-24=0 ∴12m^2+7m-12=(3m+4)(4m-3)=0 ∴m=-4/3,3/4 となります。 よって求める直線の方程式は y-7=-(4/3)(x-1) ∴y=-(4/3)x+(25/3) y-7=(3/4)(x-1) ∴y=(3/4)x+(25/4) となります。 この問題はどちらでもできますが【解法1】では計算が面倒に なりますし、以下の問題も解くのが大変になります。 【解法2】は最初は抵抗を感じると思いますが以下の問題でも 図形的に考えることができて計算も少し楽なのでこちらの解法を 習熟されることをお薦めします。 と言うわけで以下の2問は点と直線の距離の公式を用いて回答します。 (3)円の中心は原点(0,0)なので中心と与えられた直線までの距離は 点と直線の距離の公式より |k|/√(4+1)=|k|/√5 となります。 すると円と直線の関係は下図(3)のようになります。 よって |k|/√5>√5⇔|k|>5⇔k<-5、5<kのとき共有点の個数は0 |k|/√5=√5⇔|k|=5⇔k=±5のとき共有点の個数は1 |k|/√5<√5⇔|k|<5⇔-5<k<5のとき共有点の個数は2 となります。 (4)与えられた円の中心は原点(0,0)で半径は√10となります。 すると円の中心と直線l:x-y-2=0との距離は点と直線の距離の公式より |-2|/√(1+1)=√2 となります。 よって円と直線lの関係は下図のようになります。 よって切り取られる線分の長さは三平方の定理より 2√(10-2)=4√2 となります。
その他の回答 (2)
数学II「図形と方程式」の章を熟読しなさい。
お礼
わかりました(>_<) やってみます('◇')ゞ
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
>考え方を教えてください。 (3)と(4)は、(基本的問題だが) 未だ考えるところがあるが (1)と(2)は まるっきり教科書の例題レベル。 何題か 易しい問題を連投しているが、少しは考えてるのか? 考えてるなら、どこまで考えたか、それを書け。 自分で考えないで、その場しのぎ をしていたら、後々 後悔することになるぞ。 ここは、君個人のための“塾”ではない。
お礼
すいません。基礎から全くわかりません。
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