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数の計算の問題です。
1~9の数字から3つを取り出してABCと並べ替えて3ケタの整数とする。 以下の条件を満たすとき、Bの数字として考えられるのはどれか。 ただし、同じ数字を2回使用することはできない。 条件1 ABCの数字を並べ替えたところ、最初の数字より729小さくなる 条件2 ABCの数字を並べ替えて8の倍数にすることができる 2 3 4 5 6 うちのどれかが答えとなります。 まず、考えると百の位が8.9のいずれかということはわかりました。 けれど、10の位と1の位を求めようとするとつまづきます。 自分で考えると10の位・1の位ともに7~2が該当しいくつもの組み合わせがでてきて、解を導けません。 どのように考えればよろしいでしょうか?
- kaysiasu
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- 数学・算数
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1~9の数字から3つを取り出してABCと並べ替えて3ケタの整数とする。 以下の条件を満たすとき、Bの数字として考えられるのはどれか。 ただし、同じ数字を2回使用することはできない。 条件1 ABCの数字を並べ替えたところ、最初の数字より729小さくなる 条件2 ABCの数字を並べ替えて8の倍数にすることができる 難しかったです。いろいろな方法で試してみましたが、答えは1つだけです。 ABC=921、よって、B=2 条件1・条件2とも、並べ替えた数字は192 です。 条件1 ABCの数字を並べ替えたところ、最初の数字より729小さくなる より、 (1)並べ替えた数字は、729より大きい。 (2)元の数字のAが8か9なので、並べ替えた数字の100の位は1か2で、8か9も必ず入っている。 条件2 ABCの数字を並べ替えて8の倍数にすることができる 条件2から数字を探しながら、条件1と照らし合わせました。 8の倍数は、8、16、24,32,(40)、48,56,64,72,(80)、……となっていますが、特徴をまとめると、 (3)1の位が、8,6,4,2、……の繰り返しになっている。 10の位以上が、4で割り切れるときは、1の位は 8 4で割って余り1 1の位は 6 4で割って余り2 1の位は 4 4で割って余り3 1の位は 2 になっている。 3桁の数を考えるので、10の位が8か9、1の位が8 の3通りに分けて考えました。 1)10の位が9のとき 192→考えられる元の数字は、912か921 296→926か962 392→923か932 2)10の位が8のとき 184→814か841 288は × 384→834か843 3)1の位が8のとき 128→812か821 168→816か861 248→824か842 328→823か832 368→836か863 最初は、100の位は1~9まで調べていたのですが、元の数と729との差を考えたときあまり大きくない方がいいので、この程度にしました。 考えられる元の数字から729を引いて、ぴったり当てはまったのは、921のときだけでした。 よって、B=2
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- hrsmmhr
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すみません。 条件2について書いているところは何を言っているのかわかりませんね… 1-x-9を入れ替えて8の倍数にするためには、その数の少なくとも1,9は一の桁では駄目なので 一の桁がxで偶数でなくてはならないという必要条件を導けば それだけでよかったと思います
- hrsmmhr
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9>=a>b>c>=1として少なくともabc-cbaが729を超えないと条件1はあり得ない abc-cba=(a-c)*10^2+(c-a)=(a-c-1)*10^2+9*10+(10+c-a)>729{(10+c-a)を正に変形}より a-c-1>=7であることが必要 よってa=9,c=1 条件2より 1*10^i+9*10^j+x*10^k=8l (i,j,k=0,1,2) 10=8+2より 8^i+2*2*8^(i-1)+4+9*8^j+9*2*2*8^(j-1)+9*4+x*8^k+x*2*2*8^(k-1)+x*4=8m {i,j,kが0のときはi-1,j-1,k-1は0として下さい} よって(10+x)*4=8m x=2,4,6,8 最後の桁が9なので11-(e)または1(e)-9が9 {(e)=2,4,6,8} そうなるのは11-2=9,18-9=9 よってBは2か1 B=2-6なら2です
- ferien
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訂正です。 >条件1 ABCの数字を並べ替えたところ、最初の数字より729小さくなる より、 > >(1)並べ替えた数字は、729より大きい。 は、元の数字は、729より大きい。 です。
ANo.1 最後の > A = 8 or 9, B = 2, C = 1 > A = 8 or 9, B = 3, C = 2 > A = 8, B = 1 or 2, C = 7 > A = 8, B = 1 or 2, C = 8 を 「A = 8 or 9, B = 2, C = 1 A = 8 or 9, B = 3, C = 2 A = 8, B = 1 or 2, C = 7 A = 9, B = 1 or 2, C = 8」 に訂正します。 8が重複してました。
- rurisyan
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元の数字は 100A+10B+C と表現することが出来る。 並べ替えた数字は 1)100A+B+10C 2)10A+100B+C 3)10A+B+100C 4)A+100B+10C 5)A+10B+100C となる。 これに対して条件1を考えると 1)9B-9C=729 <=>B-C=81 2)90A-90B=729 <=>10A-10B=81 3)90A+9B-99C=729 <=>10A+B-11C=81 4)99A-90B-9C=729 <=>11A-10B-C=81 5)99A-99C=729 <=>11A-11C=81 このうち 1)はB>9となるため不適 2),5)はいずれかの数字が小数でないと成立しないので不適 つまり 3)または4)が条件に合致する また作れる最小数字は123になるため 100A+10B+c>729+123=852 つまりA=8 or9 これを3),4)に当てはめると 3-8)80+B-11C=81 <=> B-11C=1 3-9)90+B-11C=81 <=> B-11C=-9 4-8)88-10B-C=81 <=> 10B+C=7 4-9)99-10B-C=81 <=> 10B+C=18 このうち 3-8)Bは12以上になるので不適 4-8)B<0となるため不適 B,Cは1~9までの整数なので 3-9)の場合 B=2 C=1となる 4-9)の場合 B=1 C=8となる つまり a)A=8 B=2 C=1 b)A=9 B=1 C=8 となる このなかで条件2の8の倍数となる数字は a)は128とつくれるが b)は作れないので(918,198は割り切れないし残りの組み合わせは奇数) a)が正解となる よってB=2
条件1より ABC-??A=729 または ABC-??B=729 となるのでCとそれ以外の組み合わせは次のように限定されます。 B = 2, C = 1 B = 3, C = 2 B = 4, C = 3 B = 5, C = 4 B = 6, C = 5 B = 7, C = 6 Aor B = 8, C = 7 A or B = 9, C = 8 また、差が729となることから引く方の数の百の位は1か2でないといけないので、1か2を含むことのない B = 4, C = 3 B = 5, C = 4 B = 6, C = 5 B = 7, C = 6 は不適。 残るは B = 2, C = 1 B = 3, C = 2 A or B = 8, C = 7 A or B = 9, C = 8 の組み合わせですが、Aが8か9で1か2が入っていなければいけないことから A = 8 or 9, B = 2, C = 1 A = 8 or 9, B = 3, C = 2 A = 8, B = 1 or 2, C = 7 A = 8, B = 1 or 2, C = 8 であることが分かります。 後はすべての組み合わせについて条件を満たしているか確認するだけです。
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