ベクトル場の面積分の問題です。

質問

３次元のベクトル場(i,j,k) である、A=i+j , B=yi+xj　それぞれについて、
(1)ｙz平面上の単位円についての面積分を求めよ。ただし、単位法線ベクトルの向きはx方向とする。
(2)原点中心の半径１の球の表面についての面積分を求めよ。

という問題なのですが、
積分する面をパラメータ表示してやってみたところ、

(1)(x,y,z)=(0,cosθ,sinθ) (0≦θ≦2π)
N=(1,0,0) (ベクトルを大文字で表しました;)
A・N=(1,1,0)・(1,0,0)=(1,0,0)
B・N=(y,x,0)・(1,0,0)=(y,0,0)

∮A・NdS の dsの部分の求め方がいまいちわかりません；

(2)では
(x,y,z)=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)　（0≦θ≦π,0≦φ≦2π)
ds=|(cosθcosφ,cosθsinφ,-sinθ)×(-sinθsinφ,sinθcosφ,0)| dθdφ
=sinθ dθdφ
N=(x/2,y/2,z/2)

A・N=x/2=(1/2)・sinθcosφ
∮A・NdS=(1/2)・∬(sinθ)^2・cosφ dθdφ
=(π/4)・∫cosφ dφ
=0?

B・N=ｘｙ=(1/2)・(sinθ)^2・sin2φ
∮B・NdS=(1/2)・∬(sinθ)^3・sin2φ dθdφ
=(4/3)・∫sin2φ dφ
=0?

となったのですがどこが間違っているかわかりません；

どうか教えてくださいm(__)m

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

(1)単位円についての面積分というのだから、yz平面上の単位円の至る所について総和を取る、つまり(y^2+z^2)≦1の範囲で∫∫ dydzをやれってことです。が、被積分関数の対称性を考えれば、積分の計算はやるまでもありません。ま、一度式を書いてみれば「やるまでもない」の意味がお分かりになるでしょう。

(2) 球の裏側と表側とでは法線Nの向きが逆になるでしょう。そしてAは至る所同じベクトルなのですから、裏表で打ち消し合うので、これまた計算するまでもなし。
　Bについては、球の裏表で見ると、法線とBの向きが共に逆になるから打ち消し合いにはならない。でも、これも対称性を考えれば、球面のうちx,y,zがいずれも正でしかもy≧xであるような部分についてだけ計算して16倍すればいいのは明らかです。なお、3次元の極座標で考えるよりも、球面をz軸に垂直に輪切りにした上で2次元の極座標で計算した方が簡単かも知れません。

お礼

遅れてしまいましたが、回答有り難うございました！考え方を教えていただけて、とても参考になりました。またよろしくお願いいたしますm(_　_)m