ガウスの法則について・・・

質問

半径aの無限に長い円柱のなかに、電荷密度が
ρ＝3Q（a-r）/πa^3
の電荷が分布している。この円柱内外の静電場を求めよ。なお、Qは円柱の単位長さ当たりの電荷量、rは円柱の中心軸からの距離である。
です。。。
円柱外はわかるのですが、円柱内の静電場がわかりません。
僕は単位で計算するので、単位を付けて解説（回答）お願いいたします。
例えば、ガウスの法則では（V/ｍ）＝（V/ｍ）にして電場Eを出しています。
積分などは大嫌いですが、仕方のないときは使ってください。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

半径b(<a)長さ1mの円柱に含まれる電荷は

∫(3Q（a-r）/πa^3)2πrdr (r=0～b) = Q(b^2/a^3)(3a-2b) [C]

対称性から電界は円柱の側面に垂直なので、ガウスの法則は、

2πb[m] x 1m * E{V/m] = Q(b^2/a^3)(3a-2b) [C] / ε{F/m]

[F]は[C/V]だから次元は合ってます。

E = Q(b/a^3)(3a-2b) / (2πε) 条件(b<a)

以上。

お礼

回答ありがとうございます。
No.1さんと同様にとてもわかりやすく助かりました。
次元のところも、しっかりとしていただき理解できました。
また、質問のときはよろしくお願いいたします。

回答No.1

FT56F001

軸方向の長さΔzを考えて，中心から半径r0までに含まれる電荷[C]を求めてください。
これは，半径r，高さΔzの円柱の側面に，厚みdrの皮を考えて，
その体積内に，電荷密度ρ＝3Q（a-r）/πa^3[C/m^3]で含まれる電荷を積分するしかないですねぇ。
この電荷を，半径r0，高さΔZの円柱の側面積(2π・r0・ΔZ)で割ると，電束密度[C/m^2]です。
(ここでΔzは消えます)
電束密度を誘電率ε0[F/m]で割れば電界[V/m]です。

なお，電磁気の計算の時，単位を確認するのはよい習慣です。

お礼

回答ありがとうございます。
単位の計算もとてもわかりやすく、明日の中間テストもがんばれそうです。
ひとつ残念だったのが、途中の過程の式がなかったことです。
しかし、大変助かりました。
また質問する機会があると思うので、その時もお願いします。