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電磁気学 ガウスの法則 (その２)
「ガウスの法則」の問題(その２)に関する質問です。 ［問題］半径aの円柱内部に総量Ｑの電荷が一様な体積電荷密度ρ_v[C/m^3]で分布している。円柱の内外での電界をガウスの法則から求めよ。 何冊かの書籍を参照しましたが、線状や球状の電荷に関する記述がほとんどで、全く歯がたちません。 解き方・考え方を教えてください。 ちなみに最終的な解は、E = { (ρ_v ・a^2) / (2ε_0・ρ) } a_ρ [V/m] (a < ρ) 、E = { (ρ_v ・ρ) / (2ε_0) } a_ρ [V/m] (ρ< a) ※ E、a_ρはベクトル になるようです。
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円柱の長さ方向に長さLだけ切り取って考えます。 軸からの距離をｒとします。 (1) ｒ＞ａのとき 円柱の体積はπLa^2で、電荷はρ_vπLa^2 ｒの位置での円柱の面積は２πｒＬ 電束密度Ｄ＝ρ_vπLa^2／（２πｒＬ）＝ρ_va^2／（２ｒ） Ｅ＝Ｄ／ε_0＝ρ_va^2／（２ε_0ｒ） (2) ｒ＜ａのとき 内部の電荷はρ_vπLr^2。外部の電荷の影響は打ち消しあってゼロ。 ｒの位置での円柱の面積は２πｒＬ。 Ｄ＝ρ_vπLr^2／２πｒＬ＝ρ_vｒ／２ Ｅ＝Ｄ／ε_0＝ρ_vｒ／（２ε_0）
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電荷密度σの無限長の円柱なら、線電荷の場合と同様にして計算できます。 （答えの感じからすると、無限長の円柱かな） ただし、この場合、総電荷Qの指定が矛盾します。（総電荷は無限大になるはず） 総電荷Qと矛盾しない問題とするなら有限長の円柱になりますが、この場合には感嘆には解けないかと思います。
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ご解答ありがとうございました。
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お礼
詳細なご解答をありがとうございました。