小学算数の問題（角度）です

質問

小学生の息子から、角度に関する問題の解き方を教えて欲しいと言われました。
どこかの中学入試問題で出された問題だそうです。
私の力ではいくら考えても解けないので、解き方を教えてください（ヒントだけでも構いません）。
問題は、以下の通りです。

「四角形ABCDで、
　辺AB=辺BC＝辺AD、∠ABC=150°、∠BAD=90°
である。このとき、∠BCDを求めよ。」

なお、四角形ABCDの2本の対角線を引いても求めることができませんでした。
また、高校数学の力を使って求めた結果、∠BCD=４５°であることが分かりました。さらに、定規と分度器でできるだけ正確に図形を書いた結果も、∠BCD＝45°であることから、おそらく答えは∠BCD=45°だと思われます。
しかし、小学生算数の範囲での解き方が分かりません。どうかお願い致します。

回答No.6

banakona · ベストアンサー

下図のように同じ図形をもう一つ持ってくる。

△ＢＣＦは正三角形（∵∠ＣＢＧ＝３０°より∠ＣＢＥ＝６０°、ＢＣ＝ＢＦ）
よってＣＦ＝ＥＡ
またＣＦ//ＤＡとなるので四角形ＡＤＣＦは平行四辺形。
よってＡＦ//ＤＣ
よって　∠ＦＡＣ＝∠ＤＣＡ
∠ＦＡＣ＝∠ＢＡＣ×２＝１５°×２＝３０°
∠ＢＣＤ＝∠ＢＣＡ＋∠ＡＣＤ＝１５°＋３０°＝４５°

算数として危なっかしければＥＦとＤＣの交点をＨとし、△ＨＤＥ内に合同な三角形が４つできることをいうと算数の範囲で解けるかも。

お礼

ご回答ありがとうございました。

すごい。直線BCを軸としてもう一つ対象な図形を作るところがポイントだったんですね。
全く思いつきませんでした。

回答No.9

kup3kup3

こんばんは。
∠ＡＢＣ＝150°を60°と90°に分けるようにすればよいのです。
頂点Ｂから辺ＣＤの下方へ∠ＡＢＥ＝90°となるようＡＢの垂線を引き、
この直線上に四角形ＢＥＤＡが正方形となるように点Ｅをとる。
すると以下述べるように互いに辺の長さが等しい正三角形ＢＣＥと
正方形ＢＥＤＡができます。△ＢＣＥが正三角形となるのは、
「四角形ＢＥＤＡは正方形だから、
ＢＥ＝ＤＥ＝ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ　…(1)　，　∠ＢＥＤ＝90°…(2)
また∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝150°－90°＝60°　…(3)
ゆえに△ＢＣＥにおいてＢＣ＝ＢＥ　，∠ＣＢＥ＝60°　だから
△ＢＣＥは正三角形となり、ＣＥ＝ＢＥ＝ＤＥ　…(4)　であり、
∠ＢＣＥ＝∠ＢＥＣ＝60°…(5)となる。」というわけです。
そこで　△ＥＤＣを考えると(2),(5)より
∠ＣＥＤ＝∠ＢＥＣ＋∠ＢＥＤ＝60°＋90°＝150°　
そして(4)より　ＣＥ＝ＤＥ　ゆえに△ＥＤＣは∠ＣＥＤ＝150°であり、
ＣＥ＝ＤＥの二等辺三角形となる。よって　∠ＥＣＤ＝∠ＥＤＣ＝15°
ゆえに(5)から∠ＢＣＤ＝∠ＢＣＥ－∠ＥＣＤ＝60°－15°＝45°
となります。
「△ＥＤＣが∠ＣＥＤ＝150°、ＣＥ＝ＤＥの二等辺三角形となる」
ことがポイントでした。図参照のこと。

お礼

ご回答ありがとうございました。

∠ABCを90°と60°に分けるところまでは思いついたのですが、「頂点Ｂから辺ＣＤの下方へ∠ＡＢＥ＝90°となるようＡＢの垂線を引き、この直線上に四角形ＢＥＤＡが正方形となるように点Ｅをとる。」ということは全く思いもつきませんでした。

回答No.8

kup3kup3

こんばんは。
∠ＡＢＣ＝150°を60°と90°に分けるようにすればよいのです。
頂点Ｂから辺ＣＤの下方へ∠ＡＢＥ＝90°となるようＡＢの垂線を引き、
この直線上に四角形ＢＥＤＡが正方形となるように点Ｅをとる。
すると以下述べるように互いに辺の長さが等しい正三角形ＢＣＥと
正方形ＢＥＤＡができます。△ＢＣＥが正三角形となるのは、
「四角形ＢＥＤＡは正方形だから、
ＢＥ＝ＤＥ＝ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ　…(1)　，　∠ＢＥＤ＝90°…(2)
また∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝150°－90°＝60°　…(3)
ゆえに△ＢＣＥにおいてＢＣ＝ＢＥ　，∠ＣＢＥ＝60°　だから
△ＢＣＥは正三角形となり、ＣＥ＝ＢＥ＝ＤＥ　…(4)　であり、
∠ＢＣＥ＝∠ＢＥＣ＝60°…(5)となる。」というわけです。
そこで　△ＥＤＣを考えると(2),(5)より
∠ＣＥＤ＝∠ＢＥＣ＋∠ＢＥＤ＝60°＋90°＝150°　
そして(4)より　ＣＥ＝ＤＥ　ゆえに△ＥＤＣは∠ＣＥＤ＝150°であり、
ＣＥ＝ＤＥの二等辺三角形となる。よって　∠ＥＣＤ＝∠ＥＤＣ＝15°
ゆえに(5)から∠ＢＣＤ＝∠ＢＣＥ－∠ＥＣＤ＝60°－15°＝45°
となります。
「△ＥＤＣが∠ＣＥＤ＝150°、ＣＥ＝ＤＥの二等辺三角形となる」
ことがポイントでした。図参照のこと。

回答No.7

banakona

＃６です。

すみません。３行目で

＞よってＣＦ＝ＥＡ

となっているのは

　ＣＦ＝ＤＡ

の間違い。これとＣＦ//ＤＡとで四角形ＡＤＣＦが平行四辺形であることを言う。

回答No.5

RESOLD

No.1です。
普通に間違えました。お恥ずかしい。
ごめんなさい

No.4の方ので正解だと思います。

回答No.4

ORUKA1951

小学生は、二種類の三角定規の角度を知っているとします。
四辺形のBDを折り線にして、折ります。
すると、二番目のような図が出来ます。
ついで、このABDの直角二等辺三角形を切り取って赤線の位置におきます。
ここで、∠ABA'は90°ですから、□ABA'Dは正方形です。
よって、150°-90°＝60°で、△BCA'は正三角形であることもわかります。
とすると、∠BCAと∠A'CDが同じですから、∠BCDと∠A'CAが同じであることもわかります。
なら、∠45度です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.3

noname#157574

No.2 です。残念ながら算数の範囲では解けません。

回答No.2

noname#157574

算数の範囲で解こうと思えば解けます。
まず対角線 BD を引いて，△ABD が直角二等辺三角形であることから
∠ABD＝∠ADB＝45°
次に∠CBE＝90°となるような点 E を辺 CD 上にとると△BEDにおいて
∠DBE＝150°－（45°＋90°）＝15°，また∠BEC＝45°となるので
∠BDE＝45°－15°＝30°（厳密には中学2年の範囲）
したがって∠ADC＝45°＋30°＝75°
よって∠BCD＝360°－（90°＋150°＋75°）＝45°……（答）

お礼

早速のご回答ありがとうございます。

一つ質問があるのですが、
「∠BEC=45°」となる理由がいまいち分かりません。
この点をもう少し説明していただけるとありがたいです。

回答No.1

RESOLD

単純に円周角の定理を使えばいいと思うのですが、それでは駄目でしょうか？
確か小学生も中学入試で普通に習う（はず・・・）です。

辺ABと辺BCが同じ長さなので、円の半径となりえます。
辺ACは弧ACとなるわけです。

すると三角形ACDも同様に弧ACとなるわけなので、円周角の定理を用いて
「共通の弧を持つ円周角は等しい」
となり
「中心角=円周角×2」
つまり、∠CDA=150÷2=75°
残りを４角形の360°から引いて、∠BCD=45°となります。

http://www.manabu-oshieru.com/chugakujuken/sansu/kakudo/kihon/007b.html

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
小学生も円周角は教わるのですね。知りませんでした。

一つ質問なのですが、いまいち「三角形ACDも同様に弧ACとなる」理由が分かりません。
添付していただいたURLを拝見致しましたが、少し図形が異なるのではないかと思います。
「AB=BC」ではなく「AB＝AD」であり、「AB≠BD」です。

申し訳ありませんが、「三角形ACDも同様に弧ACとなる」理由をもうすこし詳しく教えていただけませんでしょうか。