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角度は求まるのでしょうか?

  • 暇なときにでも
  • 質問No.78933
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三角形の図形の角度を求める問題です。

△ABCにおいて、辺AB上に点D、辺AC上に点Eをおき、
∠A=s、∠ABE=t、∠CBE=u、∠BCD=x、∠ACD=yとする。
∠EDC=α、∠DEB=βとするとき、
α,βを、s,t,u,x,yを用いて表すことができるか?

http://www.geocities.co.jp/CollegeLife/2898/sankaku.gif
↑絵はこちらにあります。

α+β=u+x は簡単に出るのですが、その先がどうにもなりません。
s,t,u,x,yがある特殊な角度(関係)であれば、その角度から求めることはできるのですが、一般にはどうなのでしょう?

暇なときで構いませんので、ご存知の方がいらしたらよろしくお願いします。
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レベル10

ベストアンサー率 33% (34/103)

一般に△ABCにおいて、各頂点の対辺の長さをa,b,cとおくと、
Cから辺ABにおろした垂線の長さは
    bsinα=asinβ    ∴b=asinβ/sinα …(1)
また底辺に関して
    bcosα+acosβ=c …(2)
(1)を(2)に代入して整理すると
    a=csinα/sin(α+β) …(3)

この(3)を駆使して行きます。

まずBC=1としてよいです。
△BCDにおいて(3)より
          sinx
    BD=---------- …(4)
        sin(x+t+u)

         sin(t+u)
    CD=---------- …(5)
        sin(x+t+u)

同様に△CDEにおいて(3)より
         sin(x+y)
    BE=---------- …(6)
        sin(x+y+u)

           sinu
    CD=---------- …(7)
        sin(x+y+u)

これを△CDEに当てはめると
        CDsinα
    CE=-------- …(8)
        sin(α+y)
よって
       sinu          sin(t+u)    sinα
    ---------- = ---------- -------- 
     sin(x+y+u)     sin(x+t+u)  sin(α+y)

    sinusin(x+t+u)(sinysinα+cosycosα)=sin(x+y+u)sin(t+u)sinα

    sinusin(x+t+u)cosycosα={sinusin(x+t+u)siny-sin(x+y+u)sin(t+u)}sinα

        sinα           sinusin(x+t+u)cosy
    tanα=---- = -------------------------------
        cosα     sinusin(x+t+u)siny-sin(x+y+u)sin(t+u)

ゆえに
                           sinusin(x+t+u)cosy
    α=Arctan(tanα) = Arctan -------------------------------
                     sinusin(x+t+u)siny-sin(x+y+u)sin(t+u)
βについては省略します。

要は中学生レベルの数学では扱えない問題と言う事ですね。
特殊な角度であれば求められると言うのはそこに原因があるんだと思います。
お礼コメント
noname#598

早速のご回答、ありがとうございました。

逆三角関数が出てくるなんて、全然想像していませんでした。
懇切丁寧な途中式も付けてくださって、ありがとうございます。
よく分かりました。
投稿日時 - 2001-05-22 05:16:52
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