至急お願いしますm(_ _)m解答を教えて下さい

質問

曲線y=（x-2）^2と直線y=mx（m>0）との交点をP、Qとする。点A（4,-2）を通り直線PQに垂直な直線と線分PQ（両端含む）が共有点を持つようにmが変化するとき
（1）Aを通りPQに垂直な直線と線分PQの共有点Hはつねにある定円周上にあることを示し、その円の方程式を求めよ
（2）線分PQが通過する部分の面積を求めよ

回答No.1

muturajcp

y=(x-2)^2
y=mx
A(4,-2)
(1)
Aを通りPQに垂直な直線の方程式は
y={(4-x)/m}-2
となる
これとy=mxの共有点H(x,y)とすると
m(y+2)=4-x
my(y+2)=mx(4-x)
y(y+2)=x(4-x)
∴
(y+1)^2+(x-2)^2=5

(2)
H(x,y)とすると
x=2(2-m)/(1+m^2)
y=m(4-2m)/(1+m^2)
Hが線分PQ上にあるためには
x^2-4x+4=(x-2)^2≦mx
x^2-(4+m)x+4≦0
{2x-(4+m)}^2≦m(m+8)
(1+m^2)^2{2x-(4+m)}^2≦m(m+8)(1+m^2)^2
{2x(1+m^2)-(4+m)(1+m^2)}^2≦m(m+8)(1+m^2)^2
{4(2-m)-(4+m)(1+m^2)}^2≦m(m+8)(1+m^2)^2
(4-5m-4m^2-m^3)^2≦m(m+8)(1+m^2)^2
16+16m^3+24m^4≦48m+8m^2
2+2m^3+3m^4≦6m+m^2
3m^4+2m^3-m^2-6m+2≦0
(m-1)(3m-1)(m^2+2m+2)≦0
(m-1)(3m-1)≦0
1/3≦m≦1
線分PQが通過する部分の面積をSとするとSは
y=x,y=x/3,y=(x-2)^2に囲まれた面積だから
S=∫_{1～4/3}(5x-4-x^2)dx+∫_{4/3～3}(2x/3)dx+∫_{3～4}(5x-4-x^2)dx
S=[{(5x^2)/2}-4x-{(x^3)/3}]_{1～4/3}+[(x^2)/3]_{4/3～3}+[{(5x^2)/2}-4x-{(x^3)/3}]_{3～4}
=(40/9)-(16/3)-(64/81)-(5/2)+4+(1/3)+3-(16/27)+40-16-(64/3)-(45/2)+12+9
=302/81
=3+(59/81)