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Oを原点とする座標平面上に直線L y=xと直線M y=-xがある。直線L上の点Pと直線M上点QがOP+OQ=√2を満たしながら動くとする。線分PQ上の点が動く範囲を領域Sとする。 (1)-1≦a≦1を満たす実数aに対して、直線x=aと線分PQの交点y座標の最大値をaの式を表せ。 (2)不等式を用いて領域Sを表せ。 (3)Sの面積を求めよ。 答え (1) (1/2)a^2+(1/2) (2)ー(1/2)x^2ー(1/2)≦y≦(1/2)x^2+(1/2)、ー(1/2)y^2ー(1/2)≦x≦(1/2)y^2+(1/2) (-1≦x≦1) (3)4/3 解き方を教えてください。 解説が詳しいとありがたいです。
- rider888
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- mister_moonlight
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これは難しくはないが ➁が面倒な問題。絶対値を考えなければならないから。 方針を示して 途中で放棄する、続きはやって。 最終的には αβ≧0の時と αβ≦0の2つの場合がある。1つの場合を求めて 対称性を考えても良い。 2点が y≧0の場合を求めておく。 P(α、α)、Q(-β、β) α≧0、β≧0と置く。 OP=√2*α、OQ=√2*βより α+β=1、 ‥‥(1) 直線PQの方程式は(1)を使うと y=(2α-1)x+2(α-α^2) ➀ x=aとの交点のy座標=αにそろえると=-2{α-(a+1)/2}^2+(a^2+1)/2 0≦(a+1)/2≦1だから ➀の範囲において α-(a+1)/2=0の時 最大値=(a^2+1)/2 ➁ これをαの方程式と見る。 f(α)=2α^2-2(x+1)α+(y+x)=0 だから この方程式が1≧α≧0に少なくても1つの解を持つと良い。 ・解が1個の時 f(1)*f(0)≦0 ・解が2個の時 判別式≧0、f(1)≧0、f(0)≧0、0≦軸≦1 を求めると良い。計算は自分でやって。 ➂ 単なる計算問題。それくらいは 自分でできるだろう。対称性を使うだろう。 求めた領域は y=x に関して対称だから。
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